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（3）若将图甲中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变（如图丙），那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
证明：
（1）连接OD，则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°
在⊙O中，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE （2）CE=CD仍然成立。
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°
连接OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，∴∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE，又∠AEF=∠CED， ∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE （3）CE=CD仍然成立
∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，∴AO⊥CF
延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°
连接OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE
例10. 如图，A和B是外离两圆，⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D
（1）若PC=PD，求PB的长；
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC?PD?4？如果存在，则这样的P
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点有几个？并求出PB的值；如果不存在，说明理由。
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似？并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论。 证明：
（1）∵PC切⊙A于点C ∴PC⊥AC，PC?PA?AC 同理，PD?PB?BD，∵PC=PD， ∴PA2?AC2?PB2?BD2
设PB=x，把PA?4?x代入得x2?12?(4?x)2?22
2222221313(1??2) 881319?2） 即PB的长为（PA长为
882222 （2）假定存在一点P使PC?PD?4，设PB=x，则PD?x?1，PC2?(4?x)2?22，
解得x? 代入条件得(4?x)2?22?x2?1?4，
2 2 ∵P在两圆间的圆外部分，∴1?PB?2，即1?x?2
化简得2x?8x?7?0，解得x?2±2 ∴满足条件的P点只有一个，这时PB?2? （3）当PC：PD=2：1或PB? 这时，在△PCA与△PDB中， ∵
2。 24时，也有△PCA∽△PDB 3AC2PCAP??(或)，∠C?∠D?Rt∠， BD1PDBP ∴△PCA∽△PDB，∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上）
∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等， ∵⊙B与PD相切，∴⊙B也与CP的延长线PE相切
例11. 如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连结CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M，
（1）求证：BE是⊙O的切线； （2）求证：AC2＝CM2CF； （3）若CM?27127，MF?，求BD； 77亿库教育网 http://www.eku.cc
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（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DGH是等边三角形，设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3，试探究S1、S2、S3之间的等量关系，请直接写出其结论。 证明：
（1）连结OB
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60° 且∠OBC=30°
又∠CBE=180°?60°?60°?60° ∴∠OBE=30°+60°=90°，即OB⊥BE ∴BE是⊙O的切线
（2）（方法一）连结AM
则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60° 又∠ACM=∠FCA ∴△ACM∽△FCA
ACCM? CFAC ∴AC2?CM2CF
∴ （方法二）连结BM，证△BCM∽△FCB （3）由AC2?CM2CF，可求得AC=2
设FB?x，由FB2FA?FM2FC，得x(x?2)? 解得x?4，x??6(舍去)，∴FB?4
127227 7BEFBBE4?，∴? ACFA2644 ∴BE?，∴BD?
33SS2 （4）S2?S12S3或1?2
S2S3 由EB∥AC，得
例12. 已知：如图1所示，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F。
（1）当BC?23时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明； 3 （2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H
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两点，连结AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长。
解：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切 证明：如图，作以AB为直径的⊙O
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的 ∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°， ∵O为AB的中点，连结OD
1AB，∴点D在⊙O上， 223，AC=2 在Rt△ACB中，BC?3BC3 ∴tan， ∠CAB??AC3 ∴OD?OB? ∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°
∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴∠ABC=∠BOD ∴FC∥DO，∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90° ∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线
（2）如图，延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上 ∴四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠FBD=∠1+∠2，同理∠FDB=∠2+∠3
∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90° ∴∠FBD=∠CAD=45°，∵∠ACE=90°
∴EC=AC=2，设BC=x，可知BD=BC=x，又∠EDB=90° ∴EB?2x，∵EB?BC?EC，∴2x?x?2
解得x?22?2 ∴BC?22?2
【模拟试题】
一、填空题
（1）一个氧原子重量为2.657310学记数法表示）
（2）当x____________时，分式
?25克，20个氧原子重量为____________克（用科
2x?1的值有意义，当x____________时，分式
1?3xx2?4的值为0
(x?2)(x?1) （3）一个扇形的弧长是20?cm，面积是240?cm，则扇形的直径是____________。
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（4）若方程x?mx?4?0有两个相等的实数根，则m=____________。 （5）从2、3、4、5中任取两个数字组成一个能被5整除的两位数的概率是____________。 （6）已知相切两圆的圆心距为18cm，其中一个圆的半径是7cm，则另一个圆的半径为____________。
（7）如图1，OA、OB、OC两两不相交，且它们的半径都是1cm，则图中阴影部分的面积之和为____________。
2
图1
二、解答题：
（1）已知：如图2，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
图2
（2）计算：
11?tan60°?(?2004)0?()?1
22?3?x2?41?x2?2x ②?2 ??2x?1?x?4x?4x?2? ①
（3）解方程 ①(2x?1)2?9?0 ②3x2?5(2x?1)?0 ③
236??2 x?1x?1x?1 （4）如图3，一台机器的大轮⊙O1和⊙O2外切于点C，且两轮都和板面相切于A、B，若⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为1cm，求阴影部分的面积。
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