试）
证明：（1）证明:设x?y,y?z.因此有x?y,y?z,由偏好的传递性性可知x?z,同样由
x?y,y?z可知,y?x,z?y,由偏好的传递性可知z?x.因此有x?z，即～是传递的.
设x?y,y?z。由x?y知x?y,由y?z知y?z,根据偏好的传递性,有x?z.假设
z?x也成立,则根据偏好的传递性,由z?x,x?y得出z?y,这和已知y?z矛盾。因此,
由于x?z,但z?x不成立,即x?z成立,所以?是传递的.
（2）用反证法证明 假设z?x
又x?y，由（1）证明的传递性 得 z?y
这和y?z矛盾，所以x?z，得证。
1. 假设在一个纯交换经济中有两个消费者i=A,B和两种商品j=l，2。消费者的初始禀
iii赋为w?(w1,w2)。消费者A的初始禀赋和效用函数分别为
wA?(1,0和
UUA(x1x2)?(x1)(x2)BBBAAAaA1?a；消费者B的初始禀赋和效用函数分别为wB?(0,1)和。商品1和2的价格分别用p1和p2来表示。
B(x1x2)?(x1)(x2)?B1?? （1）求竞争均衡（提示：在计算竞争均衡时可把商品1的价格标准化为1。 （2）假设?=1／2，?=1／2，使市场出清的价格水平和均衡消费量分别为多少?（上海财经大学2007试）
解：（1）消费者A的效用最大化问题为：
maxU(x1,x2)?(x1)(x2)s.t.A11A2AAAAA?A1??px?p2x?pw?p1(1??)p1p2B1??
解得消费者A的价格提供曲线为：
(x1,x2)?(AA?p1(1??)p1p1,p2BB)?(?,) ①
消费者B的效用最大化问题为：
maxU(x1,x2)?(x1)(x2)s.t.BBAB?p1x1?p2x2?pwB?p2
解得消费者A的价格提供曲线为：
(x1,x2)?(BB?p2(1??)p2p1,p2)?(?p2p1,1??) ②
因此，市场出清条件为：
(x1,x2)?(x1,x2)?wA?wB?(1,1) ③
令p1?1，则由①、②、③可得： p2?AAABB1???A
(x1,x2)?(?,?) (x1,x2)?(1??,1??)
所以竞争均衡为：
??1??AABB(p,p)?(1,);(x,x)?(?,?);(x,x)?(1??,1??)?12? 1212???BB（2）当?=1／2，?=1／2时，市场出清的价格水平为：(p1,p2)?(1,1) 均衡消费量为：
(x1,x2)?(1/2,1/2);(x1,x2)?(1/2,1/2)
AABB
2．甲有300单位商品X，乙有200单位商品Y，二人的效用函数都是U（x,y）=xy，推
导出所有满足Pareto最优的状态。二人通过交换达到Pareto最优，求出社会的价格体系，并求出交换结果。（清华大学2005试）
解：（1）设甲乙两人的消费束为：甲(x1,y1)，乙(x2,y2)， 题设的约束条件为：
x1?x2?300y1?y2?200 ①
帕累托有效配置的条件是：甲、乙两人的无差异曲线相切，即 MRSx1,y1?MRSx2,y2即y1x1y2x2MUx1MUy1?MUx2MUy2
于是我们有： = ②
联立①②得：
y1x1=
300?y1200?x1?y1?23x1
因此，所有满足Pareto最优的状态的契约线为：y1?（2）令x价格为1，y的价格为p， 先求甲的效用最大化条件：
maxU1(x1,y1)?x1y1s.t.x1?py1?30023x1。
解得： x1?150,y1?再求乙的效用最大化条件：
150p ；
maxU2(x2,y2)?x2y2s.t.x2?py2?200p
解得：x2?100p,y2?100；
由第（1）问中解得的Pareto最优条件：y1?可求得： p?1.5。 此时
x1?150,y1?100 ，x2?150,y2?100
23x1
也就是说，社会最终的价格体系为：X的价格为1，Y的价格为1.5；交换结果为：甲消费150单位的X，消费100单位的Y；乙也消费150单位的X，消费100单位的Y。
3. 假定小王（A ）和小李（B ）的效用函数分别为：
UA?xAyA
UB?xB?yB
（1）请针对两人分别写出x对y的边际替代率公式。
（2）如果交易通过价格体系来实施，请写出均衡时的（可行的）价格比率。
（3）假定共有100单位的x和200单位的y。最初，小王有25单位的x和75单位的y，而小李75单位的x和125单位的y。请说明经过市场交易后，均衡时两人分别拥有的两种商品的数量。
（4）画出这种情形的埃奇沃斯框图（Edgeworth Box）。标出初始禀赋配置和所有的帕累托最优配置。（人大2006试）
解：（1）小王（A）的x对y的边际替代率公式为：MRS＝AxyAAMUxMUy＝yAxA
小李（B）的x对y的边际替代率公式为：MRS＝BxyMUx1＝＝1 BMUy1B（2）如果交易通过价格体系来实施，均衡时的（可行的）价格比率必须满足条件：
MRSxy＝AyAxA＝MRSxy＝1＝BPxPy
所以均衡时的价格比为：
PxPy＝1。
（3）小王的初始禀赋配置为：，小李的初始禀赋配置为：（wx，wy）＝（25，75）。假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合分别（wx，wy）＝（75，125）
????为：（xB，yB）。 （xA，yA），
AABB????????均衡时， （xA，yA）＋（xB，yB）＝（xA＋xB，yA＋yB）＝（wx，wy）＝（100，200）
???＋x＝100y＋y＝200 ① 即：x?，ABAB由（1）可得，均衡时，MRSA＝xyyAxA＝1，所以xA＝yA ②
??同时，小王和小李必须满足各自的预算约束：
PxxA＋PyyA＝Pxwx＋Pywy ③ PxxB＋PyyB＝Pxwx＋Pywy ④
??BB??AA由（2）得
PxPyA＝1，所以③、④两式可化简为：
xA＋yA＝wx＋wy＝25＋75＝100 ⑤ xB＋yB＝wx＋wy＝75?125＝200 ⑥
??BB??A综合①、②、⑤、⑥四式可得均衡时两人分别拥有的商品数量为：
（xA，yA）＝（50，50）（xB，yB）＝（50，150） ，
????（4）这种情形的埃奇沃斯框图如图10.7所示。初始禀赋配置为w，所有的帕累托最优配置为契约线上的EF段。
图10.7 埃奇沃斯框图和帕累托最优配置
4.由A、B两人及X、Y两产品构成的经济中，A、B的效用函数分别为UA＝XY，UB＝40（X＋Y），X、Y的存量为（120，120），该经济的社会福利函数为W＝UAUB。求：
（1）该经济的效用边界。
（2）社会福利最大化时的资源配置。
解：（1）设配置给A的产品为（X，Y），则配置给B的量即为（120－X，120－Y）。此时二者的效用分别为UA＝XY和UB＝40（240－X－Y）。由此解得UA＝X（240－X－UB/40）。 帕累托最优状态是指，当一人效用水平不变条件下使另一人的效用极大化。A的效用UA极大化（UB不变）的条件为：
dUdXA?240?UB/40?2X?0
解得： X=120－UB/80 将上式代入UA＝X（240－X－UB/40），即得
UB＝9600－80U这就是该经济的效用边界。
（2）帕累托最优状态的社会福利函数为
W=UAUB=UA（9600－80U由社会福利最大化条件：
dWdUA1A2
1A2）＝9600UA－80U3A2
?9600?120UA1/2?0
解得：
UA＝6400，UB＝3200
此时
X＝80，Y＝80 即A的产品拥有量为（80，80），B的产品拥有量为（40，40）。
5.考虑由两个人，两种商品组成的纯交换经济（pure－exchange economy）。已知该经济
0?系统既有的商品总量分别为q10和q2，两个人的效用函数分别为uA?q?q,uB?qB1qB2，A1A2且qA1?qB1?q1,qA2?qB2?q2。试求：作为qA1和qA2的函数的契约曲线方程。如要使该契约曲线成为一条直线，对?和?要加上什么条件？
解：契约曲线是交换均衡点的轨迹，曲线上每一点所代表的都是交换各方通过交换所能获得的最大效用时的商品的数量组合，即此时任何形式的改变都不可能在无损于别人的前提下使其中任何一个人的效用较前增加。也就是给定其他消费者的效用水平的情况下，任何一个消费者的效用已达到最大。根据题意，对于两个人，两种商品的经济，可通过给定uB，使uA极大化来求契约曲线，即
maxuA?qA1qA2
使得uB?qB1qB2?(q1?qA1)(q2?qA2) 构造拉格朗日函数：
??qA1qA2??[(q1?qA1)(q2?qA2)?uB]
?0000??0?0?00令一阶偏导数为零：