???qA1??qA1qA2???(q1?qA1)??10??10(q2?qA2)?0 （1）
???qA2????0?q?A1??(q1?qA1)0??0 （2）
?(q1?qA1)(q2?qA2)?uB?0 （3）
?00由（1）、（2），得
?qA1qA2qA1???1??(q1?qA1)00??1(q2?qA2)?0(q1?qA1)
于是，所求契约方程为
?qA2qA1??(q2?qA2)q?qA1010
0或 ?qA2q10??qA1qA2??qA1q2??qA1qA2
0或 ?qA2q10??qA1q2?(???)qA1qA2
若无(???)qA1qA2此项，即当???时，该契约曲线便成为线性的了。
6.一封闭经济用两种生产要素——土地和劳动——生产两种商品X和Y。所有土地都是同质的，劳动也一样。两种要素的供给曲线完全无弹性。所有要素为私有，市场均属完全竞争，并处于长期均衡中。生产函数为：
X?480.25KX0.75LX,Y?30.250.25KY0.25LY0.75
其中，X和Y分别为两种商品的年产出单位数，KX和KY分别为商品X和Y生产过程中使用的土地平方公里数，LX和LY分别为两种商品生产中雇佣的劳动人数。所有人都具有相同的效用函数，并由下式给出：
U＝XY
现有324平方公里的土地，2500名工人，商品X的价格为100。试计算下列均衡值： （1）商品Y的价格；
（2）每平方里土地的年租金R；
（3）每个工人的年工资W。
解：要素市场均衡要求W＝VMPL＝P×MPL，故有
PX?MPLX?0.25PX?48?0.25PX(480.250.50.5
KXK0.75LXLX?0.75
0.250.75X0.25LX)?W
故 0.25?PXXLX?W
PY?MPLY?0.75PY?30.25KY0.25LY?0.25
?0.75P30.25K0.25YL?0.75YY(L)?W
Y故 0.75?PYYL?W
Y于是， 0.25PXXYL?0.75PYXL
YLYPXX＝3LXPYY 同样地，由VMPK＝P×MPK＝R，有
PK0.75XL0.25XX?MPKX?0.75P480.25X(K)?R
X故 0.75PXXK?R
X25PY?MPKY0.25P30.K0.25YL0.75YY(K)?R
Y故 0.25PYYK?R
Y于是， 0.75PXXK?0.25PYY
XKY3KYPXX＝KXPYY 由效用函数及MRSXY＝
PXP，有
Y0.5X?0.5Y0.5X0.5X0.5Y?0.5?YX?PP
Y故
PXX=PYY 将式③代入式①、式②，得
LY＝3LX，KX＝3KY
由题设，LX＋LY＝2500，故
L2500X?4?625,LY?1875
同样，由KX＋KY＝324，知
①
②
③
KX?34?324?243,KY?81
将这些值代入生产函数，得
0.250.750.2541/453/451/4
X＝48×243×625=（2×3）×（3）×（5） =2×34×5=810 Y=3×81×1875 =3×3×53=1125
0.25
0.25
0.75
＝3×（3）×（5×3）
1/441/443/4
（1）由式③及给定PX＝100，得
PY?PXXKXPXXY?100?8101125?72。
（2）R=0.75??0.75?100?810243?250。
（3）W?0.25?PXXLX?0.25?100?810625?32.4。
7.考虑一由两种商品和固定要素供给组成的经济。假设以商品空间定义的社会福利函数为W＝（q1＋2）q2，隐含的生产函数为q1＋2q2－10=0。试求社会福利函数达最大时q1、q2之值。
解：依题设，即求
maxW=（q1＋2）q2 使得q1＋2q2－10=0
构造拉格朗日函数
??(q1?2)q2??(q1?2q2?10)
令一阶偏导数为零
???q1???q2?????q2???0 （1）
?q1?2?2??0 （2）
?q1?2q2?10?0 （3）
由（1）得λ＝－q2，代入（2）得q1＋2－2q2=0 即q1=2q2－2，代入（3）得2q2－2＋2q2－10=0 于是 q2＝
124?3,q1?2q2?2?2?3?2?4
即当这两种商品的产量分别为4单位、3单位时，该经济的社会福利达到最大。
4 论述题
1.试证明：在完全竞争的市场经济当中，存在满足生产和交换同时实现帕累托最优的条件。（中央财大2004试）
证明：生产和交换的帕累托最优条件是MRTxy?MRSAxy?MRSBxy，即产品的边际替代
率等于边际转换率。现在证明在完全竞争的市场经济条件下，存在满足生产和交换同时实现
帕累托最优的条件。
在完全竞争条件下，对产品X，Y的消费者来说，效用最大化的条件是两种产品的边际替代率等于其价格比，即
MRSAXY?PXPY
对消费者B，C等来说，也是
MRSxy?C MRSxy?BPxPyPxPy
??因此，产品X，Y的均衡价格达到了交换的帕累托最优状态，即
AB MRSxy?MRSxy???PXPY
在完全竞争条件下，对产品X，Y的生产者A来说，利润最大化的条件是投入要素L，K的边际技术替代率等于价格比，即
MRTSLK?Awr
对生产者B，C等也是，
MRTSLK?MRTSLK???CBwrwr
因此，要素L，K的均衡价格达到了生产的帕累托最优状态，即
MRTSLK?MRTSLK???ABwr
故生产的帕累托最优实现。 生产可能性曲线，即产品转换率曲线上任何一点的边际转换率，是曲线在这一点切线的斜率，即
MRTXY??dYdX
而 ?dYdX?PXPY
?所以 MRSXYPXPY?MRXT Y因此，产品X，Y的均衡价格达到了生产和交换的帕累托最优状态。
2.试述微观经济学中的一般经济均衡的模型与意义。（武大2003试） 答：在现实的经济生活中，存在众多的市场。在这些市场中，供给者和需求者相互联系，共同制约。其中任何一个市场上的需求或供给发生变动，不仅影响它们各自市场上的价格，而且影响到其他市场的供求，从而使得许多市场价格发生变动。一般均衡分析就是讨论当影响某一个市场上的供给或需求的因素发生变动后，能否存在一系列价格，使得所有的市场同时处于均衡的问题。
所谓一般均衡系指所有的市场同时处于均衡的一种状态，它是相对于局部均衡而言的。具体地讲，就单个消费者来说，他面对既定的市场价格，使用现有的资源，通过购买和出售，来实现自身的效用最大化。此时，消费者处于均衡，从而形成对产品（组合）的需求。所有消费者需求的总和构成了商品的市场需求。
单个生产者在既定的价格下购买生产要素，利用成本最低的生产技术生产各种产品的组合，并以既定的市场价格出售。当厂商获得最大利润时，厂商处于均衡，从而形成对产品的供给。所有厂商供给的总和构成了产品的市场供给。如果所有厂商的成本函数相同，那么在厂商处于均衡时，厂商的超额利润为零。
对所有的商品而言，当消费者的超额市场需求（消费者的需求量减最初拥有量）恰好等于厂商的市场供给时，市场处于一般均衡状态。可以证明，如果所有经济当事人的需求和供给函数都是连续的，并且消费者的效用最大化行为满足预算约束，那么对于任意价格，瓦尔拉斯定律成立，并且存在一系列价格，使得所有的市场同时处于均衡。
在一般均衡的实现过程中，除了经济当事人需要满足的条件以外，最终均衡的实现还要借助于市场机制的自发调节，即市场拍卖者的存在。在完全竞争的条件下，价格就是反映市场供求变动的晴雨表。如果某一行业的利润较高，其他行业中的资源就会转移到该行业中来。这样，在市场机制中如同存在一个拍卖者，他根据市场的供求变动调整资源的配置：如果在某一个价格水平下需求量超过供给量，那么他就提高价格；反之，他就降低价格，直到所有的市场上的供给等于需求为止。如同单个商品的价格决定一样，市场机制的自发作用决定一系列的市场均衡价格，使得经济处于一般均衡状态。
一般均衡模型除了论证“看不见的手”的目的以外，其分析也是建立在严格的假设基础之上的，所以需要特别注意其实现的条件。（1）一般均衡的实现需要完全竞争的市场条件，所以有关完全竞争市场的假设条件对一般均衡的实现起到重要的作用，从而使得一般均衡分析至多具有理论意义。（2）有关经济当事人行为的连续性等假设过于严格，有关拍卖者的假设也需要经济当事人有超常的信息处理能力。（3）关于一般均衡存在性的证明也只是为一个数学问题提供了一个数学解。
3.论述并推导生产和交换的帕累托最优条件。（华中科大2002试）
答：帕累托最优状态也称为帕累托最适度、帕累托最佳状态或帕累托最优原则等。是现代西方福利经济学中讨论实现生产资源的最优配置的条件的理论。由意大利经济学家、社会学家V·帕累托提出，并因此得名。帕累托指出，在社会既定的收入分配条件下，如果对收入分配状况的某种改变使每个人的福利同时增加，则这种改变使社会福利状况改善；如果这种改变让每个人的福利都减少了，或者一部分人福利增加而另一部分人福利减少，则这种改变没有使社会福利状况改善。帕累托认为，最优状态应该是这样一种状态：在这种状态下，任何对该状态的改变都不可能使一部分人的福利增加，而又不使另一部分人的福利减少，这种状态就是一个非常有效率的状态。
（1）将生产契约曲线转换到以商品为坐标量的平面直角图上便可得到转换曲线（生产可能性曲线）。生产可能性曲线是指在其他条件（如技术、要素供给等）不变的情况下，生产产品X与Y所能达到的最大产量的组合。其线上的每一点必会满足MRTSXLK?MRTSYLK。