习题一 （A类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n1)…321； (4) 13…(2n1)(2n)(2n【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n1)…3〃2〃1)= 0+1+2 +…+(n1)=
2)…2.
n(n?1); 2(4) τ(13…(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n(n1).
2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。 解：D4=(?1)?(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4 j3?4.
由题意有：j2?2,故j1j2j3j4?j124j4???1243 ?3241D4中含的a22a34项为：(?1)?(1243)a11a22a34a43?(?1)?(3241)a13a22a34a41
即为：?a11a22a34a43?a13a22a34a41
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）a23a31a42a56a14a65；
解：a23a31a42a56a14a65?a14a23a31a42a56a65 因为?(431265)?6，(?1)所以该项带正号。
?(431265)?(?1)6?1
（2）a32a43a14a51a66a25
解：a32a43a14a51a66a25?a14a25a32a43a51a66 因为?(452316)?8，(?1)?(452316)?(?1)8?1 所以该项带正号。
5. 用定义计算下列各行列式.
020012300(1)
001002003000； (2)03045. （3）?000400010n【解】(1) D=(1)
τ(2314)
4!=24; (2) D=12.
??a12?1?a23?2（3）由题意知：?????an?1,n?n?1
??an,1?n??其余aij?0所以
D?(jn?(?1)1j2?jn)a1j1a2j2a3j3?anjn?(?1)?(234?n1)a12a23a34?an?1,nan1
?(?1)n?1?1?2?3???(n?1)?n?(23?n1)?n?1?(?1)n?1?n!6. 计算下列各行列式.
214?1(1)
3?12?1ab?ac?ae123?2； (2) ?bdcd?de； 506?2?bf?cf?efa?1001234(3)1b?10；234101c?1 (4)
3412. 001d4123
10?02???00?00?00?n?10
【解】(1) Dr1?r2503?112506236?2?1?0; ?2?21?1?1(2) D?abcdef?11?1??4abcdef;
?1?1?1b?101?10?c?11?1?2(3)D?a1c?1?(?1)0c?1?a?b???cd?1
1d0d??01d01d?abcd?ab?ad?cd?1;10c1?c210(4)D?c1?c310c1?c4107. 证明下列各式.
2341b213412410234101r2?r1011?3r3?2r20??r?rr2r3?r102?2?24?r204130?1?1?1023411?3?160.
0?4400?4a2(1) 2aab1a?b2b?(a?b)3；
1(2)
a2b2c2d2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2a32(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?3)2(d?3)2?0；
1a2 (3) 1b1aa21c2b3?(ab?bc?ca)1bb2 c31cc2a?(4) D2n?0ac?00?bd?0b00d00c?(ad?bc)n；
1?a1(5)
1?1?11?1?ann?1?n??1????ai. ?i?1ai?i?11?11?a2?【证明】(1)
2(a?b)(a?b)b(a?b)bc1?c3左端?2(a?b)a?b2bc2?c3001
?(a?b)(a?b)b(a?b)a?bb?(a?b)2?(a?b)3?右端.2(a?b)a?b212a?12b?12c?12d?14a?44b?44c?44d?4x3a3b3a2c2-c1b2(2) 左端?2c3?c1cc4?c1d26a?96b?9c3-2c2?c?6c?943c26d?9a2b2c2d22a?12b?12c?12d?1222266?0?右端. 66(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
f(x)?1xx21aa21bb1c2?(x?a)(x?b)(x?c)(a?b)(a?c)(b?c)(*)
c2c31aa2从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
(ab?bc?ac)(a?b)(a?c)(b?c)?(ab?bc?ac)1bb2,
1cc2但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
1a2(?1)1?11b21c2(4) 对D2n按第一行展开，得
a3b3, c3a?abD2n?a?c0cd??b00a?ab?b?cd?0cc0?b
d0d00d?ad?D2(n?1)?bc?D2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1),
据此递推下去，可得
D2n?(ad?bc)D2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)???(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1(ad?bc) ?(ad?bc)n?D2n?(ad?bc)n.
(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：
Dn?1?a11?11?a2??1?1?1111111?a11??111?11?100?0an???1?a2???11??1?an?1
?a1a2?an?1?anDn?1.但由归纳假设
?n?11?Dn?1?a1a2?an?1?1???,
?i?1ai?从而有
?n?11?Dn?a1a2?an?1?ana1a2?an?1?1????i?1ai?
nnn1??1???a1a2?an?1an?1?????1????ai.?i?1ai??i?1ai?i?18. 计算下列n阶行列式.
x1?1222?21x?1(1) Dn? (2) Dn?223?2；
????????11?x222?n10xy?000(3)Dn???????. (4)Dn??000?xy0y00?0x0【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n
122?2xy0?00210?0021?0012?00????00?2100?121),得
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