由此得 k??3或k?1.
当k?1时，显然有R?A??1； 当k??3时，A的左上角的3阶子式
?3
111??16?0.
1?311?3故当且仅当k??3时，R?A??3.
?102???8. 设A为4×3矩阵，且R（A）=2，而B=020，则R（AB）= 。 ?????103??1解：因为|B|=00220=10≠0，所以B可逆。
?103所以R（AB）=R(A)=2.
2-1-1
9. 设方阵A满足A-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A及(A+2E). 证明：因为A?A?2E?0,所以A?1211(A?E)?E，两边取行列式.则A?(A?E)?1?0 22所以A?0，所以Α可逆，A2
?1(A?E).又A2?A?2E?0得A2?A?2E，由Α可逆，22则Α可逆，所以Α+2E可逆
?1?1(A?2E)?1?(A2)?1?(A?1)2??(A?E)??(A2?2A?E)
?2?4
10．设A是n阶方阵，满足AA??E，且|A|<0，求|A+E|。
解：|A+E|=|A?AA?|=|A(E?A?)|=|A|?A??E=|A|?|(A?E)?|=|A||A+E| 所以(1?|A|)?|A?E|?0，因为1-|A|≠0,(|A|<0) 所以|A+E|=0。
11. 若3阶方阵A的伴随矩阵为A*，且|A|=解：|A|=
1?1*，求的|(3A)?2A|值。 21 2R(A)=3，A*A?|A|?E
所以A*?|A|A?1 所以(3A)?2A??1*1?112A?2|A|A?1=(?1)A?1??A?1 333则|(3A)?1?2A*|??2?1216A?(?)3?|A?1|??。 3327??1??? ?2?，其中???(i?j;i,j?1,2,?,n).证明：与Α可交换的只能是12．设A??ij? ???? ?n??对角矩阵.
??11 ?12 ? ?1n????? ? ?21 222n?证：设B??与Α可交换.
? ?????? ?nn??n1 n2??1?11 ?1?12 ? ?1?1n???11?1 ?12?2 ? ?1n?n????????? ? ?????? ? ??221 22222n211 2222nn?，BA???. 则AB??? ??? ?????????? ?????? ??nnn?nnn??nn1 nn2?n11 n22由AB?BA可得，?1i?1??1i?i，由?i??j，i≠j, 所以当i≠1, ?1i?0,i?2,3,?,n,同
??11??? ?22?是对角矩阵. 理可得aij?0(i?j,i,j?2,3,?,n)所以B??? ???? ?nn??13. 设A为n阶方阵(n≥2),A为A的伴随矩阵,试证:
*
(1) 当R(A)=n时,R(A)=n;
*
(2) 当R(A)=n-1时,R(A)=1;
*
(3) 当R(A)＜n-1时,R(A)=0.
证明：（1）由R(A)?n，所以Α可逆.而A?A?A?E 所以
**
A*?A?E，所以A*可逆，即R(A*)?n. A（2）下面先证明一个矩阵秩的性质.设矩阵Α、B 则??A0??0?AB??0?AB????????
B??E0??EB??E
?A0??0?AB?所以秩??秩????秩(E)?秩(?AB)EBE0 ???? ?n?秩(AB)而秩??A0??A0??秩???，故秩Α+秩B≤n+秩（ΑB）
0BEB????由R（Α）=n-1，则｜Α｜=0，所以AA*?AE?0，
所以秩Α+秩Α≤n，即秩Α≤1
***
又R(Α)=n-1,所以Α的所有n-1阶子式不为0，即Α有非零元素，即秩Α≥1，故秩Α=1.
**
（3）由R（Α） * * 习题三 （A类） 1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2) 2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α. 解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得：α= 3 11(3α1+2α2-5α3),即α= (6,12,18,24) 66=(1,2,3,4) 3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）× 4. 判别下列向量组的线性相关性. （1）α1=(2,5), α2=(-1,3); (2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3); (3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2); (4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关. 5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设 k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0, 即 (k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0. 由?1,?2,?3线性无关，有 ?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3线性无关. 6.问a为何值时，向量组 ?1?(1,2,3)',?2?(3,?1,2)',?3?(2,3,a)' 线性相关，并将?3用?1,?2线性表示. 1解：A?2111?13?7(5?a),当a=5时，?3??1??2. 7732a32 7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0， ?10?1?10）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为??10??10 10000??0?. 0??1?8. 设?1,?2,?,?s的秩为r且其中每个向量都可经?1,?2,?,?r线性表出.证明： ?1,?2,?,?r为?1,?2,?,?s的一个极大线性无关组. 【证明】若 线性相关，且不妨设 ?1,?2,?,?r (1) ?1,?2,?,?t (t 是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是?1,?2,?,?s的一个极大无关组，这与?1,?2,?,?s的秩为r矛盾，故?1,?2,?,?r必线性无关且为?1,?2,?,?s的一个极大无关组. 9. 求向量组?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把?1,?2,?3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换. ?1?1A???1??k11k11??111??111??11?0??0??0k?12?0101?????????1??0k?10??0k?10??00??????1??01?k1?k??001?k??001?0?? 1??0?当k=1时，?1,?2,?3的秩为2,?1,?3为其一极大无关组. 当k≠1时，?1,?2,?3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 10. 确定向量?3?(2,a,b),使向量组?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3与向量组?1=(0,1,1),