?010??010??010??010??001??010?????????????解：（1）001=001001001=000001 ??????????????000????000????000????000????000???000????000???=000?O3?3。 ????000???cos?（2）令Dk=???sin?D2=?3
sin??（k为正整数），则当k=2时，
cos???k?cos???sin?sin??cos????cos???sin??sin???cos2?=?cos?????2sin?cos?2sin?cos??
cos2???=??cos2???sin2?sin2??； ?cos2??sinm??成立，则
cosm???sinm??cosm????cos???sin??sin?? ?cos??sin?cosm??cos?sinm?? ?cosm?cos??sinm?sin??设Dm=??cosm???sinm?Dm+1=??cosm???sinm?=??cosm?cos??sinm?sin???sinm?cos??cosm?sin??cos(m?1)?=???sin(m?1)??cos?故有：Dk=???sin??1(3) 令Dk=???sin(m?1)??.
cos(m?1)???sin???cosk?=?cos?????sink?kksink??.
cosk???0?（k为正整数），则 1??当k=2时，有：
D2=??10???1???10??10???1?=?2?1?；
????0??10?=?成立，则 ?1???m?1?m?1假设Dm=???Dm+1=?
0??10??10??1=； ??????m?1???1??(m?1)?1?
?1故有???
0??1=?1???k?k0?。 ?1??a?b6. 设A=???c???dbcd??ad?c??，求|A|. da?b???cba?bcd??ad?c????(a2?b2?c2?d2)A da?b???cba?解：由已知条件，A的伴随矩阵为
?a?bA?=?(a2?b2?c2?d2)???c???d又因为AA=AE，所以有
??(a2?b2?c2?d2)A2=AE，且A?0，
即 ?(a?b?c?d)A=(a?b?c?d)AA=A222242222222222244E
222于是有 A??(a?b?c?d)??(a?b?c?d). 7. 已知线性变换
x1?2y1?y2,??y1??3z1?z2,???x2??2y1?3y2?2y3,?y2?2z1?z3, ?x?4y?y?5y;?y??z?3z,12323?3?3利用矩阵乘法求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换. 【解】已知
?x1??2????2X??x2?????4?x3????y1???3???2Y??y2?????0?y3???10??y1??y??AY,32???2?15????y3??0??z1??z??Bz,
01???2??13????z3??1??421?X?AY?ABz?12?49?z,?????10?116??从而由z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换为
?x1??4z1?2z2?z3,??x2?12z1?4z2?9z3, ?x??10z?z?16z.123?38. 设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：B?AB也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故B?AB也为对称阵.
9. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB. 则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则
(AB)′=B′A′=BA=AB,
所以，AB为对称阵.
10. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：
(1) B2
是对称矩阵.
(2) ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】
因A′=A,B′= B,故
(B2)′=B′〃B′= B〃(B)=B2;
(ABBA)′=(AB)′(BA)′=B′A′A′B′= BAA〃(B)=ABBA;
(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= BA+A〃(B)= (AB+BA).
所以B2
是对称矩阵，ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
11. 求与A=??11??01?可交换的全体二阶矩阵.
?【解】设与A可交换的方阵为??ab??cd?,则由 ???11??ab??ab??11?01??cd?=??cd????01?, ?????得
??a?cb?d??aa?b??cd??d. ????cc??由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如??a?0为任意数.
b?a?的方阵，其中a,b?
?100?12. 求与A=?012?可交换的全体三阶矩阵.
????01?2??【解】由于
?000?A=E+?002?,
????01?3??而且由
?a1?a?2??a3可得
b1b2b3c1??000??000??a1?002???002??ac2???????2c3??01?3????01?3??????a32b1?3c1??0?2a2b2?3c2??3??2b3?3c3????a2?3a302b3b2?3b3b1b2b30c1?c2??, c3???0c1?0c2???0c3由此又可得
?2c3??. c2?3c3??c1?0,2b1?3c1?0,2a3?0,a2?3a3?0,c2?2b3,c3?b2?3b3,2b2?3c2?2c3,2b3?3c3?c2?3c3,所以
a2?a3?b1?c1?0,?a10?即与A可交换的一切方阵为0b2???0b313. 求下列矩阵的逆矩阵.
c2?2b3,c3?b2?3b3.
?2b3??其中a1,b2,b3为任意数. b2?3b3??0?123?12???012?； (1) ?； (2) ????25???001???12?1???(3)34?2； (4) ????5?4?1??【解】
?1
?1??2??1
02120031
0?0??； 0??4?
?1?21??5?2??01?2?; (1) ?; (2) ?????21???001???1?1????1260??21???74?1?; (4) ?1(3) ?6?????3214?2???2?1??814. 利用逆矩阵，解线性方程组
0121?65?2400131?120??0???; 0??1??4??x1?x2?x3?1,??2x2?2x3?1, ?x?x?2.?12111?111??x1??1???????【解】因022x2?1,而022?0 ???????1?10?1?10????2???x3???故
?x1??111??x???022??2?????1?10???x3????11?1??1??2??1?????0?12??2?????11???1?0??1??2??????1?3. ?1?????????2?2????2?1????15. 证明下列命题：
***
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）=BA.
**11*
(2) 若A可逆，则A可逆且（A）=（A）.
**1
(3) 若AA′=E,则（A）′=(A).
**
【证明】（1） 因对任意方阵c，均有cc=cc=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
****
|A|〃|B|〃BA=|AB|E(BA)
*** ***
=(AB)AB(BA)=(AB)A(BB)A
** *
=(AB)A|B|EA=|A|〃|B|(AB).
∵ |A|≠0,|B|≠0,
***
∴ (AB)=BA.
**11 *1111
(2) 由于AA=|A|E,故A=|A|A,从而(A)=|A|(A)=|A|A. 于是
A* (A1) *=|A|A1〃|A|1A=E,
所以
1 **1
(A)=(A).
1
(3) 因AA′=E，故A可逆且A=A′.