由(2)(A)=(A*11 *
),得
(A)=(A′)=(A)′.
*1
*
*
16. 已知线性变换
?x1?2y1?2y2?y3,??x2?3y1?y2?5y3, ?x?3y?2y?3y,123?3求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换. 【解】已知
?x1??221??y1????315??y??AY,
X??x2?????2???323????x3????y3??且|A|=1≠0,故A可逆，因而
??7?49?Y?A?1X??63?7?X,
????32?4??所以从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换为
?y1??7x1?4x2?9x3,??y2?6x1?3x2?7x3, ?y?3x?2x?4x,123?317. 解下列矩阵方程.
?12??4?6?(1) ??X=?21?；
13?????21?1??21?1?????210?；
0(2)X21??????1?11????1?11??(3) ??14??20??31?； X?=??????12???11??0?1??010??100??0?43???????(4) 100X001?20?1. ????????001????010????1?20??【解】(1) 令A=?
?12??4?6??3?2??1;B=.由于 A???????13??21???11?故原方程的惟一解为
?3?2??4?6??8?20?X?A?1B????. ??????11??21???27?同理
?100??2?10??11??; (4) X=?03?4?. (2) X=?010?; (3) X=?1?????0????4??001???10?2???423???18. 设A=110，AB=A+2B,求B. ?????123??【解】由AB=A+2B得(A而
2E)B=A.
223A?2E?1?10??1?0,
?121即A2E可逆，故
?2B?(A?2E)?1A??1????1?1?4?3??4??1?5?3??1??????164?????13??4?1?10???21?????123??3??210???23?????22?123?10??23?? ?8?6?.?9?6??129??19. 设m次多项式f(x)?a0?a1x???amxm，记f(A)?a0E?a1A???amAm,f(A)称为方阵A的m次多项式.
??1(1)A=???， 证明 ?2????1kA=??k?1k??f(?1)f(A)?，???2k??k?1?； ?f(?2)??1(2) 设A=PBP， 证明B=PAP，f(B)?Pf(A)P.
【证明】
2??(1)A2??1?00?3??130?即k=2和k=3时，结论成立. ?,A??3??22?0??2?今假设
??1kA???0k0?, k??2?那么
Ak?1??1k?AA=??0k0???10???1k?10??, ??k??k?1?0??2??2??0?2?0?, k??2?所以，对一切自然数k，都有
??1kA???0k而
f(A)?a0E+a1A+?+amAm??1?1??a0??a?1?1??????1m?+?+am??2??0???2m??a0?a1?1+?+am?1m??0??f(?1)????.f(?)?2?(2) 由(1)与A=P BP,得
1
?
?a0?a1?2+?+am?2m?B=PAP 1.
且
Bk=( PAP 1)k= PAkP 1,
又
f(B)?a0E?a1B???amBm?a0E?a1PAP?1???amPAmP?1?P(a0E?a1A+??amA)P?Pf(A)P?1.m?1
??1?4???10?1020. 设PAP=?. 其中P=?，?=?， 求A. ???11??02??1【解】因P可逆，且P得
?1?11?14??1A=P?P故由 ??,?3??1?1?
A10?(P?P?1)10?P(?10)P?14???1?4???13??????0111?????3?? 4???1?4??13??????0111?????3??1??1?212?4?212??13651364?????.?1010?3?1?24?2???341?340?10?10??3?2????1??3?10??3?210????1??321. 设n阶方阵A的伴随矩阵为A，
证明：(1) 若｜A｜＝０，则｜A｜＝０；
?n?1(2) A?A.
??【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A|=0，因若| A|≠0，则有A( A)A=AE=AA*( A*)1=|A|( A*)1=0,
**
这与| A|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A|=0.
*
(2) 由A A=|A|E，两边取行列式，得
*n|A|| A|=|A|,
*n1
若|A|≠0，则| A|=|A| 若|A|=0,由(1)知也有
*n1| A|=|A|.
22. 设
****
1=E,由此又得
?5?2A=??0??0?1210000750??3?40??,B???03???2??0k250000460?0??. 1??2?求(1) AB; (2)BA; (3) A；(4)｜A｜ (k为正整数). 【解】
?232000??19800??10900??301300??; (2) BA=??; (1)AB=??004613??003314??????00329??005222?
?1?200???2500??1?; (4)Ak?(?1)k. (3) A=??00?23???005?7??23. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.
?1?2?（1）?0??0??0?2?0?（3）?0??0??02000??0?5000??00300?； （2）??2?0010????20001??0102?2013??0100?.
?0010?0001??0? A2??00133?1?21??; 00??00??A1【解】(1) 对A做如下分块 A???0其中
?12?A1??;??25??300?A2??010?,
????001??A1,A2的逆矩阵分别为
?1?00?3??1?, A2??010???001???000?000???100?. 3?010?001???5?2?A1?1??;???21?所以A可逆，且
?A1?1A????1?5?2??21?????00?1?A2???00?00?同理(2)