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第一章 概率论的基本概念
一、填空题
1.(1)ABC;(2)A?B?C;(3)ABC?ABC?ABC;(4)ABC?ABC?ABC?ABC(或AB?AC?BC)
2．
37511 ，； 3．0.6； 4． 0.3，； 5． 0.7,0.8； 6． ； 7． ；
7888210A64A1258. 1?10或0.996； 9． 4??0.2778；10. 1?p.
18126二、选择题 D；C； B； A； D； C； D；C；C；B.
三、解答题
?P(BA),?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB). 1.解：?P(AB）1 ?P(A）?P(B),又?P(AB)?,A,B相互独立，912?P(AB)?P(A)P(B)?P2(A)?[1?P(A)]2?,?P(A)?.
932.解： 设事件A表示“一个是女孩”，事件B表示“一个是男孩”，则所求为
P(B|A).
法1：样本空间??{AA,AB,BA,BB}，由条件概率的含义知:P(B|A)?法2：在样本空间??{AA,AB,BA,BB}内，P(A)?2. 331,P(AB)?, 42?P(B|A)?P(AB)2?.
P(A)33.解：设Ai=“飞机被i人击中”，i=1，2，3 , B=“飞机被击落”, 则由全概率
公式：
P(B）?P(A1B?A2B?A3B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A3B)
?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) (1)
设H1=“飞机被甲击中”，H2=“飞机被乙击中”，H3=“飞机被丙击中”, 则: P(A1)?P(H1H2H3?P(H1H2H3?P(H1H2H3)
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?P(H1H2H3)?P(H1H2H3)?P(H1H2H3)) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，
?P(A1)?P(H1)P(H2)P(H3)?P(H1)P(H2)P(H3)
+P(H1)P(H2)P(H3))
?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36
同理求得P(A2)?0.41, P(A3)?0.14.
代入（1）式?P(B)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458.
4.解：设事件A表示“知道正确答案”，事件B表示“答对了”，则所求为P(A|B).
?P(A|B)?P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)??P(B)P(AB)?P(AB)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
1?153??.
1217?1??3355.解：设A=“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，B?“箱中恰有i件残次品”
i?0,1,2, 由题意P(B0)?0.8,P(B1)?P(B2)?0.1. P(A|B0)?1,4C194P(A|B1)?4?,C2054C1812P(A|B2)?4?
C2019（1）由全概率公式：P(A)??P(B)P(A|B)?0.94
iii?02（2）由贝叶斯公式：P(B0|A)?
P(A|B0)P(B0)?0.85.
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第二章 随机变量及其分布
一、填空题
1. 2[1?F(a)]；2. 1?2119；3. 0.9974； 4. ；5. ； e22740 1 2 y?11?0.36. 7. ；8. 4； 9. e； 10. F().
X p 0.1 0.4 0.5 22二、选择题 C；A；D； B；D；C；B；B；C；A. 三、 解答题
1.解：(1) 因为
11?9?，所以， 得. P{X?k}?1A3?1???1A????39?40?k??1x??1?1?x?00?x?1. 1?x?2x?2311 ??404010.
k?12?0,?27?,?40?9(2) F(x)??,?10?39,?40??1,(3) P{1?X?2}?P{X?1}?P{X?2}?9?1?(4) Y?X?1的分布律为: P{Y?k}???40?3?,k?0，1,2,3.
?F(x)为随机变量的分布函数，?F(x)右连续，单调不减，并且 2. 解：
F(??)?1，F(??)?0. ?F(??)?lim[a?x???b]?a?1，F(??)?limc?c?0.
x???(1?x)2b]?a?b?c，?b??a??1. 2(1?x)由F(x)右连续，得:lim[a?x?0? ?a?1,b??1,c?0.
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3. 解：（1）由?????15 f(x)dx?1及P{X?}?可知，28?A?1(Ax?B)dx?1?B?1?A?1??0??2?? 解得：? 即?1. ?15B???3A?B?5??1(Ax?B)dx?2??8??228?81??x?,(2)由(1)得：f(x)??2??0,0?x?1其他x?00?x?1x?1x?00?x?1 x?11214,
?0,?x1??F(x)?P{X?x}???(x?)dx,02???1,?0,?11???x2?x,2?2??1,11
11111(3)P{?X?}??12f(x)dx??12(x?)dx?(x2?x)4222244?7. 32(4)记Y的分布函数为FY(y)，则
y?1y?1}?FX(), 22y?1y?11y?1 两边求导得： fY(y)?fX()()??fX(),
2222FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X??1y?11?）,?（fY(y)??22 代入f(x)的表达式得：2??0,?y1??,??42??0,
0?y?1?1, 2其他?1?y?1其他.
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4．解：记Y的分布函数为FY(y)，则：
FY(y)?P{Y?y}?P{1?e?2X?y}?P{e?2X?1?y}，
当1?y?0即y?1时，FY(y)?0;当1?y?1即y?0时，FY(y)?0;
所以当0?y?1时，FY(y)?P{e?2X?1?y}?P{X??1ln(1?y)} 21 ?FX(?ln(1?y)).
2两边求导得：fY(y)?fX(?111 ln(1?y))??221?y代入f(x)的表达式得：fY(y)?1. ?1,?fY(y)???0,0?y?1其他 , 即Y服从U(0,1)的均匀分布.
四、应用题
1. 解：设考生的外语成绩为X，则X~N(72,?). 因为 0.023=P{X?96}?1?P{X?96}?1?P?2?X?7224??24????1????， ???????即??24?24?，查表得：?0.977?2，即??12.于是X~N(72,122). ???????X?72??1??2?(1)?1?0.6826. 12?所以P{60?X?84}?P??1?22. 解：由X~N(7.5,10)，得一次测量中误差不超过10米的概率为
?10?7.5???10?7.5?P{?10?X?10}?????????0.5586.
1010????设需要进行n次独立测量，A表示事件“在n次独立测量中至少有一次误差不超 过10米”， 则 : P(A)?1?(1?0.5586)?0.9?n?3 即至少需要进行3次独立测量才能达到要求.
n