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第三、四章 多维随机变量、数字特征
一、填空题：
1．e?1； 2. 18.4； 3. N(－3,25)； 4. 6．6，6；7．0.9；8．
8；5．0.4，0.1; 9111；9. ；10. 1?. 92e2e二、选择题： A；B；C； D；A；B；C；C；D；A. 三、解答题：
1．解：P{Y?1X?0}?P{X?0,Y?1}b1?? ①
P{X?0}a?b2P{X?1,Y?0}c1?? ②
P{Y?0}a?c3 P{X?1Y?0}? 又?pi?1，?a?b?c?0.5?1,即a?b?c?0.5 ③
由①得, a?b; 由②得, a?2c;
将a?b?2c代入③式得：c?0.1,a?b?0.2.
2. 解：（1）先求出X、Y的边缘分布律：
Y
X p ﹣1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
0.15 0.50 0.35 P?j Pi? 0.4 0.6 1 E(X)?0?0.4?1?0.6?0.6, E(X2)?02?0.4?12?0.6?0.6, D(X)?E(X2)?E(X)2?0.6?0.62?0.24,E(Y)?0.2,E(Y2)?0.5, D(Y)?E(Y2)?E(Y)2?0.5?0.22?0.46.
（2）求XY的数学期望：
法一：先求XY的分布律：P{XY??1}?p21?0.08,
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P{XY?0}?p11?p12?p13?p22?0.72，P{XY?1}?p23?0.2.
XY的分布律为：
XY ﹣1 P 0.08 0 0.72 1 0.2 故E(XY)?(?1)?0.08?0?0.72?1?0.2?0.12 法二：直接用公式:
E(XY)???xijpiji?1j?123?0?(?1)?0.7?0?0?0.18?0?1?0.15?1?(?1)?0.08?1?0?0.32?1?1?0.2?0.12（3）X与Y的相关系数为:
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?????E(XY)?E(X)E(Y)D(X)D(Y)1x?0.12?0.6?0.20.24?0.46?0.
1f(x,y)dxdy?dxkxdy?k,得k?3. ???????0?030x???????0dy??3xdy??0dy,0?x?1(2)fX(x)??f(x,y)dy???? 0x???其他?0,3. 解：(1)由1??3x2,0?x?1 ??；
0,其它??3?(1?y2),0?y?1同理:fY(y)??2.
?0,其他?由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，故X与Y不是相互独立的.
(3)P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??112dx?x1?x3xdy?5. 84. 解：D的面积为SD??e211dx?2,?(X,Y)的联合概率密度为: x(x,y)?D其他
?1?,f(x,y)??2??0,概率统计大作业 参考解答 第8页 共19页
从而fX(x)???????1?x1dy?1,1?x?e2, f(x,y)dy???022x?0,其他?1?在x?2处，fX(x)?fX(2)?.
45. 解：(1)由已知得：P(B|A)?P(AB)1P(AB)1?,P(A|B)??.
P(A)2P(B)2?P(A)?P(B)?1,41P(AB)?.
8(X,Y)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
5P{X?0,Y?0}?P(AB)?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?.
81P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?.
81P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?.
81P{X?1,Y?1}?P(AB)?.
8?(X,Y)的联合分布律为：
X Y 0 1 (2) E(X)? 0 58 18 1 18 18 111,E(Y)?,E(XY)?, 4481111Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????.
84416??6. 解：P?X?????3?1x11cosdx?,?Y~B(4,). ??32222??E(Y)?4?111?2,D(Y)?4???1, 222?E(Y2)?D(Y)?E2(Y)?1?4?5.
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7. 解：（1）fX(x)??????x?x???e?xdyx?0?xe??f(x,y)dy??0?x?0?0?0x?0x?0
?1f(x,y)???x fY|X(y|x)?fX(x)??0?e?y,（2）fY(y)???0,y?0y?0
0?y?x其他；
P(X?1Y?1)?P(X?1,Y?1)?P(Y?1)?10dx?e?xdy0x1?e?11?x20e?2 e?18．解：（1）P(X?2Y)?X?2Y??f(x,y)dxdy??dx?(2?x?y)dy?07. 24（2）利用公式fZ(z)??????f(x,z?x)dx,
0?x?1,0?z?x?1其他z?1?x?z.
?2?x?(z?x)f(x,z?x)???0?2?z???0① 当z?0或z0?x?1,其他?2时，fZ(z)?0;
② 当0?z?1时，fZ(z)?③ 当1?z?2时，fZ(z)???z01(2?z)dx?z(2?z); (2?z)dx?(2?z)2.
0?z?11?z?2. 其他z?1?z(2?z)?2故 Z?X?Y.的概率密度为fZ(z)??(2?z)?0?注：本题也可利用分布函数的定义求.
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第六、七章 样本及抽样分布、参数估计
1n1n22???(Xi?X)2； 2. 8； 1．N(?,)，?(Xi?X)，?ni?1ni?1n一、填空题
?2(n?1)S2(n?1)S23??1；3．t(4)； 4． (2 5． ?X ； 6． 2? ,2)；
2??(n?1)??(n?1)21?27. N(0,1)； 8. Y1,Y3;Y1.
二选择题 B；C；C；D；B；A；C；D； D.
三、解答题
1.解：设来自总体X、Y的样本均值分别为X、Y，
2?1??2?20,?12??2?3,n1?10,n2?15，
则X?Y~N(?1??2,?12n1?2?21)?N(0,)，故： n220.3?012)??(?0.3?012)]
P{X?Y?0.3}?1?P{X?Y?0.3}?1?[?(?2[1??(0.4242)]?0.674
2.解：(1)E(X)?0???1?2?(1??)?2???3?(1?2?)?3?4?.
22??1令E(X)?X,即3?4??X.故得?的矩估计量为：?（3?X）,
41??1. 而x?(3?1?3?0?3?1?2?3)?2,故?的矩估计量为?84(2)由给定的样本值，得似然函数为L(?)??P{X?xi}?4?(1??)(1?2?)62i?184
取对数：lnL(?)?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?),