习题解答
1.求下列函数的条件极值： ⑴f(x,y)?xy，其中x?y?1；
xy?(a?0,b?0),其中x2?y2?1； abxy⑶f(x,y)?x2?y2，其中??1；
ab11⑷f(x,y)??，其中x?y?2；
xy?⑸f(x,y)?cos2x?sin2y，其中x?y?；
4⑵f(x,y)?⑹f(x,y)?ax2?2bxy?cy2，其中x2?y2?1。
做题方法：做题⑴⑶⑷⑸时，因为容易从约束方程中解出y?y(x)，所以用上一节的方法做。而做题⑵⑹时，用拉格朗日乘数法做。
譬如解⑷，从x?y?2?y?2?x，则问题就变成求函数f[x,y(x)]?让
11?的极值。x2?xdf[x,y(x)]11??2??0，则得到唯一驻点x?1；又因为 2dxx(2?x)f[x,y(x)]?111【用不等式a?b?2ab】 ??2x2?xx(2?x)且x?1时其中等式成立，所以fmin(1,1)?2是条件极小值。
再如解⑹，令L?[ax2?2bxy?cy2]??(1?x2?y2)，则
??2ax?2by?2?x?0?ax?by??x?0①?Lx???L?2bx?2cy?2?y?0??y?bx?cy??y?0② ??x2?y2?1?0x2?y2?1???(a??)x?by?0a???一方面，根据右端方程组，则?bx?(c??)y?0?b?x2?y2?1?数f(x,y)在条件x2?y2?1下的极值。
?a?0，即?是方阵?c???bbb?的?c?特征根。另一方面，x?①?y?②，并由x2?y2?1，得ax2?2bxy?cy2??，即?就是函
a??其次，
bb?0?(a??)(c??)?b2??2?(a?c)??(ac?b2)?0，而它有实c??根，当且仅当判别式??(a?c)2?4(ac?b2)?(a?c)2?4b2?0：若??0(即b?0,a?c)，则在条件x2?y2?1下，函数f(x,y)?ax2?2bxy?cy2?a(?c)；若??0，则二次方程
?2?(a?c)??(ac?b2)?0有两个相异实根，设?小??大，则函数f(x,y)?ax2?2bxy?cy2在条件x2?y2?1下的最小值是?小，最大值是?大
注：连续函数f(x,y)?ax2?2bxy?cy2在圆周x2?y2?1【等值线，有界闭集】上有最大（小）值。
请你做其他习题。 答案：⑴在点?1?11?,?取到fmax?；
4?22???a2?b2ba⑵在点?， ,?取到fmax?2222aba?b??a?b??ba2?b2?a?而在点?； ,?取到fmin??2222aba?b??a?ba2b2a2b??ab2⑶在点?2； ,22?取到fmin?222a?ba?ba?b??k???x???(?1)k?28(k?0,?1,?2,?)取到条件极值fmax?1?⑸在点?(k为偶数) 或
k??2?y???28?(?1)k(k为奇数)。 fmin?1?22.求下列函数的条件极值： ⑴f(x,y,z)?x?2y?2z,x2?y2?z2?1；
1111???(a?0)； xyza⑵f(x,y,z)?xyz(x?0,y?0,z?0),⑶f(x,y,z)?xy2z3(x?0,y?0,z?0),x?2y?3z?a(a?0)；
x?y?z??。 2⑷f(x,y,z)?sinxsinysinz(x?0,y?0,z?0),做题方法：做题⑴⑵时，用拉格朗日乘数法；而做题⑶⑷时，因为容易从约束方程解出一个变量，所以可用上一节的方法做。
解⑴ 用拉格朗日乘数法解时，令L?x?2y?2z??(x2?y2?z2?1)，则
1?x???2???Lx?1?2?x?0??L???2?2?y?0?y?1?y??? ????Lz?2?2?z?0?1222z?????x?y?z?1??222??x?y?z?13?1??1??1????根据约束条件x2?y2?z2?1，则??。因此，条件驻点????1??????2?2????????222为A??,22?2??1?12,??和B?,?,?，而条件极值为
33?3??3?33144?122??122?144fmin??,,????????3 和fmax?,?,?????3
333?333??333?333注：从几何上说，函数f(x,y,z)?x?2y?2z在约束条件x2?y2?z2?1下的极值，就是函数在单位球面上的极值。
解⑵ 用拉格朗日乘数法解时，令L?xyz????1111?????，从必要条件 ?xyza????L?yz??0①?x2x????L?xz??0②y2?y? ??L??xy???0③?zz2??1?1?1?1??xyza求出条件驻点。方法是：x?①?y?②?z?③，并利用约束条件
1111???，则得xyza??0或??3axyz；把??3axyz分别代入式①、②、③，则得x?y?z?3a，即在第a一卦限得到唯一驻点(3a,3a,3a)。因此，f(3a,3a,3a)?27a3是条件极值。 3xyz?其次，为了判别f(3a,3a,3a)是极大值或极小值，需要根据二阶微分d2f(3a,3a,3a)的符号来判定。为了求二阶微分，先求一阶微分df?yzdx?zxdy?xydz；再求微分时，注意不能把dx、
dy、dz都看作常数，应把其中一个看作其余两个的函数，譬如把dz看作dx和dy的函数。于是，
d2f?(zdy?ydz)dx?(zdx?xdz)dy?(ydx?xdy)dz?xyd2z
其中
微分
1111dxdydz????2?2?2?0?dzxyzaxyz(3a,3a)??dx?dy
再微分
dxdydz?2?2?212222???0?(dx)?(dy)?(dz)?dz?0 2223332xyzxyzz222?d2z?(dx)2?(dy)2?(dx?dy)2
(3a,3a)3a3a3a
于是，
d2f(3a,3a,3a)?6adydx?6a(dx?dy)2?9a2d2z(3a.3a)222??6adydx?6a(dx?dy)2?6a?(dx)?(dy)?(dx?dy)??
?6a[(dx)2?(dy)2?dxdy]
2???1?3?6a??dx?dy??(dy)2??0 【当(dx)2?(dy)2?0时】
2?4?????即d2f(3a,3a,3a)是正定二次型。因此，fmin(3a,3a,3a)?27a3是极小值。
注：上面所用的方法见教科书例9（p.120）。
解⑶ x?2y?3z?a?x?a?2y?3z，则问题变为求二元函数
g(y,z)?(a?2y?3z)y2z3(a?0,x?0,y?0,z?0)
的极值。解方程组
aa??y?y?z?233????g???63y?(?2)yz?(a?2y?3z)2yz?0?? ???2322?z?(?3)yz?(a?2y?3z)3yz?0?g??y?2z?a?z?a??6?2?将y?z?aa代入x?a?2y?3z，又得x?，即在第一卦限(x?0,y?0,z?0)得到唯一驻点66?aaa??,,? ?666??aa?a4???,???64yy?g?6?66?????8yz3?(a?2y?3z)2z3?g?yy??4??aaa??其次，?g????6y2z2?6yz3?6(a?2y?3z)yz2，则?g? ??,???64yzyz6?66???222???18yz?6(a?2y?3z)yz??zz?g?aa?a4??g???,???124zz?6??66?aa?aa?aa?a8a8aa?a4????2??,?g???,??g???,??728?368?0且g???,???64?0，因为??g?yyzzyzyy666?66??66??66??66??aaa??aa??a?所以fmax?,,??gmax?,????
?666??66??6??解⑷ 从约束条件解出z??x?y，代入f(x,y,z)，来求解二元函数
2???g(x,y)?f[x,y,z(x,y)]?sinxsinysin??x?y?
?2?????sinxsinycos(x?y)?x?0,y?0,x?y??
2??的无条件极值问题。从必要条件
6?g?x(x,y)?cosxsinycos(x?y)?sinxsinysin(x?y)?0（※）?
?g(x,y)?sinxcosycos(x?y)?sinxsinysin(x?y)?0?y解得
x?y??6???? 从x?y?z?得z???26??另一方面，根据三角学中的恒等式，则??g?x(x,y)?sinycos(2x?y)????，而在点?,?处求
?66?y(x,y)?sinxcos(x?2y)?g?二阶偏导数【在草纸上演算】，则得g??xx??1,g??xy??1,g??yy??1。因为 2132??????g???g?(g)?1???0且g??xxyyxyxx??1?0
443????1?1?????????所以，有极大值fmax?,,??gmax?,??sinsinsin????
666?2?8?666??66? 3.利用解条件极值问题的方法，证明：
⑴ 点(x0,y0)到直线ax?by?c?0的(最短)距离为
d?|ax0?by0?c|a?b22 分析：点(x0,y0)到直线ax?by?c?0的(最短)距离，就是函数
r?(x?x0)2?(y?y0)2
在条件ax?by?c?0下的最小值，而为了求偏导数方便，等价地研究函数
r2?(x?x0)2?(y?y0)2
在条件ax?by?c?0下的最小值问题。
解 令L?[(x?x0)2?(y?y0)2]??(ax?by?c)，解方程组
??Lx??L?y?L???一方面，
?a?x?x??①0??2(x?x0)??a?02??2(y?y0)??b?0?? ?by?y??②0?2?ax?by?c?0??ax?by?c?022???a???b?r?(x?x0)2?(y?y0)2?????????2?2??2?另一方面，a?①?b?②，并由ax?by?c?0，则得
a2?b2（※）
于是，
?2?2ax0?by0?c??(a2?b2)?(ax?by)?(ax0?by0)??(ax0?by0?c)
。把它代入式（※），则得点(x0,y0)到直线ax?by?c?0的(最短)
距离为d?a2?b2ax0?by0?ca?b22 ⑵ 点(x0,y0,z0)到平面ax?by?cz?d?0的(最短)距离为
??|ax0?by0?cz0?d|a?b?c222