因为点(x,y,z)在抛物面z?x2?y2上，所以引力为
f[x,y,z(x,y)]?kk ?22222442222x?y?(x?y)x?y?2xy?x?y因此，所要解决的问题就是函数f[x,y,z(x,y)]在条件F(x,y)?0下的极大（小）值问题；而为了演算上的方便，令g(x,y)?x4?y4?2x2y2?x2?y2，则
f[x,y,z(x,y)]在条件F(x,y)?0下的极大（小）值问题?g(x,y)在条件F(x,y)?0下
的极小（大）值问题 请记住：在下面的解答中，
g(x,y)最小?f(x,y,z)最大?引力最大；
g(x,y)最大?f(x,y,z)最小?引力最小
作拉格朗日函数L?(x4?y4?2x2y2?x2?y2)??(x2?y2?x?y?1)，则取到极值的必要条件是
?Lx??4x3?4xy2?2x??(2x?1)?0?32?L?y?4y?4yx?2y??(2y?1)?0
22?x?y?x?y?1?0?由前两个方程得x?y，代入第三个方程得2x2?2x?1?0，解得x?y?方程x?y?z?1得z?2?3 记点P1??1?3，代入约束2??1?3?1?3???1?3?1?3?,,2?3P,,2?3，，则 ??2?????2222????f(P1)?k??1?3???1?3?2??????(2?3)?2??2?k??1?3???1?3?2??????(2?3)?2??2?2222?k
9?53k
9?53f(P2)??因此，负电荷移动到点P1时，引力最大；移动到点P2时，引力最小。
xyz,,)解法二 也是为了简化运算，令g(x,y,z)?x2?y2?z2，则f(在条件??x?y?z?122?z?x?y?x?y?z?1下的极大（小）值问题?g(x,y,z)在条件?下的极小（大）值问题。注意，g(x,y,z)22z?x?y?最小（大）?f(x,y,z)最大（小）?引力最大（小）。作拉格朗日函数
L?x2?y2?z2??1(x?y?z?1)??2(z?x2?y2)
则
??2x??1?2?2x?0①?Lx???Ly?2y??1?2?2y?0②???Lz?2z??1??2?0③ ?x?y?z?1??z?x2?y2?①减②得2(x?y)(1??2)?0，因为?2?1【若?2?1??1?0?z??①③1,这不满足约束方程2?x?y?z?12，所以x?y；代入约束方程组?得2x?2x?1?0，解出 z?x2?y2】22z?x?y???1?3x???12 ??x??1?32??2?x?y根据?，可得两个条件驻点P1(x1,x1,1?2x1)与P2(x2,x2,1?2x2)
z?1?2x?最后，从直观上说，函数g(x,y,z)在给出那个椭圆上的最小（大）值是存在的，即
gmin(P1)?9?53，gmax(P2)?9?3 因此，fmax(P1)?kk，fmin(P2)?
9?539?53点评：在教科书的这一节中，没有讲三元函数f(x,y,z)在两个约束方程??F(x,y,z)?0下的
G(x,y,z)?0?条件极值问题【这个问题讲在下一节中】，但它有时也出现在考研试题数学一的试卷中。一般说，
求解这样的极值问题是比较麻烦的。遇到这种情形时，你可以选择下面三种方法之一做：
?F(x,y,z)?0?y?y(x)解出两个隐函数，譬如?，则上述条件极值问题，
?G(x,y,z)?0?z?z(x)就变成一元函数f[x,y(x),z(x)]的无条件极值问题。
第一，若能够从?第二，若能够从其中一个约束方程解出一个隐函数，譬如从F(x,y,z)?0解出z?z(x,y)，则上述条件极值问题，就变成二元函数f[x,y,z(x,y)]在另一个约束方程G[x,y,z(x,y)]?0下的条件极值问题。
第三，直接作拉格朗日函数L?f(x,y,z)??1F(x,y,z)??2G(x,y,z)，然后解方程组
??0?Lx?L??0y???，求出条件驻点(x0,y0,z0) ?Lz?0?F(x,y,z)?0???G(x,y,z)?0