请你仿照题⑴的解答解题⑵。
4.在抛物线y2?4x上求一点，使它到直线x?y?4?0的距离最短，并求出这个最短距离。 分析：根据习题3(1)，抛物线y2?4x上点(x,y)到直线x?y?4?0的距离为
d?x?y?42(x?y?4)2。问题变成函数d?在约束条件y2?4x下的极小值问题。
22(x?y?4)2??(y2?4x)。从必要条件 解 令L?2??(x?y?4)?4??0??Lx???x?1? ?Ly??(x?y?4)?2?y?0???y?2?y2?4x????)直线x?y?4?0的距离最短，最短距离为因此，抛物线y2?4x上点(1,2到
d?x?y?42?(1,2)3 25.求椭圆x2?3y2?12的内接等腰三角形，使其底边平行于椭圆的长轴，且面积最大。 分析：把椭圆方程化成标准型，即
y x2y2?2?1 22(23)根据假设，三角形底边平行于Ox轴。如图示， 设点A(x,y)(x?0)在椭圆上。三角形ABC的 面积为S(x)?x(2?y)。于是，问题就是
22C(0,2) O x B(?x,y) 第5题图
A(x,y) S(x,y)?x(2?y)在条件x?3y?12下的最大值问题。
解 令L?x(2?y)??(12?x2?3y2)，则取到最大值的必要条件是
??(2?y)?2?x?0?Lx??x?6?y?0 ?L?y??x2?3y2?12?12??x???12?2?1从前两个方程解出?，其中?由约束方程来确定，即把坐标代入约束方程
?y??2?12?2?1??x?3得??12。于是，。因此，所求三角形底边端点为A(3,?1)和B(?3,?1)，x2?3y2?12，?y??1?而顶点为C(0,2)；而最大三角形的面积为S(3,?1)?9(单位平方)。
6.欲做表面积为S且横截面是半圆形的浴盆【如图示】，问：如何选择尺寸，才能使浴盆的容积最大？
?r2h，而约束条分析：设浴盆横截面半圆的半径为r，长为h，则容积【目标函数】V?2S??r222件为?rh??r?S；因为?rh??r?S?h?，
?rr 2233h ?rS??rSr??rSr??r?则V?，所以问题就是求V?
2?r22第6题图
的最大值问题。
请你根据上面的分析写出解答。答案：r?SS ,h?23?3?7.已知某矩形的周长为2a，将它绕自己的一边旋转形成一个旋转体。问：该矩形的尺寸为何时，旋转体有最大体积？
分析：设矩形一个边长为x，另一边长为y，则约束条件就是
y 2x?2y?2a?x?y?a，而目标函数【旋转体体积】为V??yx
请你根据上面的分析写出解答。 答案：x?2y a2a,y?(绕其短边旋转)。 332O 8.求有心二次曲线Ax?2Bxy?Cy2?1的半轴。
x 第7题图
x 注：“有心二次曲线”是指椭圆和双曲线，这里认为它是椭圆(AC?B2?0,A?0)。 解 因为方程不含一次项，所以坐标原点就是它的中心【曲线的割线被它平分】。于是，问题
)曲线上点(x,y)的距离r(x,y)?就是：原点O(0,0到
2x2?y2关于约束条件
Ax2?2Bxy?Cy2?1的极值问题。为了避免对根式函数求偏导数，我们来求函数r2?x2?y2在
约束条件Ax?2Bxy?Cy2?1下的极值。令L?(x2?y2)??(1?Ax2?2Bxy?Cy2)，则取到
??2x?2?(Ax?By)?0?(1??A)x??By?0①?Lx???L?y?2y?2?(Bx?Cy)?0????Bx?(1??C)y?0② ??Ax2?2Bxy?Cy2?1Ax2?2Bxy?Cy2?1??条件极值的必要条件是
x?①?y?②，并利用约束条件Ax2?2Bxy?Cy2?1，则得r?x2?y2??；另一方面，由方程①和②联立的齐次线性方程组，根据约束方程Ax因此，系数行列式等于0，即
（※）
2?2Bxy?Cy2?1，说明它有非零解。
1??A??B?0?(AC?B2)?2?(A?C)??1?0
??B1??C因为AC?B2?0且A?0【蕴涵C?0】，所以方程（※）是关于?的二次方程，而且
?1,2(A?C)?(A?C)2?4(AC?B2)??0
2(AC?B2)设?1??2?0，则椭圆长半轴为?1，短半轴为?2 x2y29.求平面Ax?By?Cz?0(C?0)与椭圆柱面2?2?1 相交所得椭圆的面积。
ab分析：截线是椭圆，坐标原点(0,0,0)是它的中心。求出它的长半轴与短半轴，则它的面积就是：长半轴?短半轴??
解 坐标原点O(0,0,0)到椭圆上点(x,y,z)的距离为
?(x,y,z)?x2?y2?z2 x2y2因为其中点(x,y,z)既在平面Ax?By?Cz?0(C?0)上，又在柱面2?2?1上，所以它们
ab都是约束条件。于是，
?Ax?By?Cz?0(C?0)??(x,y,z)?x2?y2?z2在约束条件? x2y2??1?a2b2?下的极大值是长半轴，极小值是短半轴。在求解过程中，是先从Ax?By?Cz?0中解出变量
z??Ax?By【消去一个约束条件】 C并且为了避免对根式函数求偏导数，把拉格朗日函数写成
2?x2y2??Ax?By?L?x?y??????1?2?2?
b??C??a22则取到极值的必要条件是
?2A?Ax?By?2?x?A?Ax?By??x?L?2x???0x?①x???????C?C?a2C?C?a2????2B?Ax?By?2?yB?Ax?By??y?L?2y???0?y??y??????2② 2CCCCb????b????x2y2x2y2?2?1?2?1??22abab??x2y2?Ax?By?一方面，x?①?y?②，并根据约束条件2?2?1，则?2?x2?y2?????；
abC??另一方面，根据
22??A??AB?2A?Ax?By?2?x1??x?y?0????2x?22?2???2?0?Lxa?CC?C?a??C????B2??2B?Ax?By?2?yAB??L?y?2y????2?0??2x??1?2?2?y?0
CCb???b?C??C??x2y2x2y2??1???2?12a2b2??ab???A2??AB??1?2?2?x?2y?0a?C??C则齐次线性方程组?有非零解，因此，系数行列式等于零，即
2?B???ABx?1??y?0?22??C2b??C?A2?AB1?2?2CaC2?0，即
2ABB?1??C2C2b2a2(A2?C2)?b2(B2?C2)a2b2(A2?B2?C2)?????0
C2C22根据二次代数方程的韦达定理，这个二次方程的两个根的乘积等于常数项，即
a2b2(A2?B2?C2)?1?2?
C2于是，椭圆的面积就是?1?2???abA2?B2?C2 C?10.绝对极值 函数在区域或闭区域上的最大（小）值称为绝对极值。求函数f在闭区域D上的最大（小）值时，先在D的内部D【D的内点组成的集合】求出所有极大（小）值，然后在区域D的边界?D【D的边界点组成的集合】上求出条件极大（小）值，最后把它们放在一起选出最大（小）者就是函数f在闭区域D上的最大（小）值。
下面两题虽然简单，但它们的解法可以说明求绝对极值的方法。 11.求函数f?x2?xy?y2?2x?y在由Oy轴与直线y??闭三角形域上的最大值与最小值。
分析与解答：首先在三角形域内部求出极值，然后在三条边上 求出条件极值，最后比较它们的大小。首先，从
B 1 O -1 C 11x?1和y?x?1围成的22y y??1x?1 21 A 2 x ?fx??2x?y?2?0 ??f??x?2y?1?0?y求出唯一驻点(1,0)，它在三角形ABC内部，且fmin(1,0)??1
y?1x?1 2第11题图
1?1?其次，在边BC上，f(0,y)?y2?y有fmin?0,????,fmax(0,1)?2；在边AB上，
?2?491???1??1??1?7f?x,?x?1??x2?x??x?1????x?1??2x???x?1??x2?x?2
22???2??2??2?4有fmin(2,0)?0,fmax(0,1)?2；同样，在边AC上，
23?1??1??1??1?3f?x,x?1??x2?x?x?1???x?1??2x??x?1??x2?x
2?2??2??2??2?41?3?有fmin?1,????，fmax(0,?1)?fmax(2,0)?0
2?4?总之，函数f(x,y)在闭三角形域ABC上，fmin??1,2fmax?2
12.在以点O(0,0)，A(1,0)与B(0,1)为顶点的闭三角形域上求一点，使它到三个顶点距离的平方和为最大，并求出最大值。
分析：如图示，点(x,y)分别到原点O(0,0)、A(1,0)、B(0,1) 的距离为
y B x?y?1 2r1?x2?y2 r2?(x?1)?y r3?x2?(y?1)2 因此，点(x,y)到三个顶点距离的平方和为
2(x,y) · A O 第12题图
x f(x,y)?(x2?y2)?[(x?1)2?y2]?[x2?(y?1)2]?3x2?3y2?2x?2y?2
问题就是求函数f(x,y)在闭三角形域AOB上的最大值。为此，求出它在三角形AOB内的极大值，以及它在三条边上的条件最大值，然后比较这些函数值的大小，其中最大者就是所求的最大值。
?fx??6x?2?0?11??11?解 首先根据?得到在三角形AOB内部的驻点?,?，而因为在点?,??33??33??fy??6y?2?0???fyy???(fxy??)2?36?0,fxx???6?0【驻点是极小值点】处，fxx，所以函数f(x,y)在三角形AOB内没有取到极大值。 ．．．．．．．
其次，在边AO上，f(x,0)?3x2?2x?2(0?x?1)当x?1时取到条件最大值3；同样，在边OB上，f(0,y)?3y2?2y?2当y?1时取到条件最大值3；最后，在边AB上，y?1?x，则f(x,1?x)?3x2?3(1?x)2?2x?2(1?x)?2?6x2?6x?3(0?x?1)取到条件最大值3
总之，函数f(x,y)在三角形AOB的顶点A和B上取到最大值3