点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
11．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（ ） A． 甲合适 B． 乙合适
C． 油价先高后低甲合适 D． 油价先低后高甲合适
考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用．
分析： 设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为
；司机乙两次加油的均价为
；作差比较大小即可．
解答： 解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y； 两次加油的单价分别为a，b； 则司机甲两次加油的均价为司机乙两次加油的均价为
=
=；
；
且﹣=≥0，
又∵a≠b， ∴即
﹣＞
＞0， ，
故这两次加油的均价，司机乙的较低， 故乙更合适， 故选B．
点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
12．设等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N），其前n项和为Sn，若数列{
*
}也为等差数
列，则的最大值是（ ）
A． 310 B． 212 C． 180 D． 121
考点： 数列的求和；数列的函数特性． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 设等差数列{an}的公差为d，a1=1，an＞0（n∈N），利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：an=1+（n﹣1）d，Sn=
．由于数列{
}也为等差数
*
列，可得2出．
=+，代入解出d，可得关于n的数列，利用其单调性即可得
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，a1=1，an＞0（n∈N）， ∴an=1+（n﹣1）d，Sn=∴
=1，
=
，
=
，
．
*
∵数列{∴2
=
}也为等差数列， +
，
∴=1+，
2
化为（d﹣2）=0，解得d=2．
2
∴an=2n﹣1，Sn=n． ∴
=
=
，
∵数列单调递减，
∴的最大值是=121．
故选：D．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分
13．双曲线2x﹣y=1的离心率为 ．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率． 解答： 解：由双曲线2x﹣y=1可知：a=
2
2
2
2
，b=1，∴c==，
双曲线的离心率为：．
故答案为：．
点评： 本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力．
14．已知公比为q的等比数列{an}，满足a1+a2+a3=﹣8．a4+a5+a6=1，则
考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由已知数据易得数列的公比，进而可得首项a1，代入要求的式子计算可得． 解答： 解：由题意可得a4+a5+a6=q（a1+a2+a3）=﹣8q=1，解得q=﹣， 代入a1+a2+a3=﹣8可得a1（1﹣+）=a1=﹣8，解得a1=﹣
，
3
3
= ．
∴==﹣
故答案为：
点评： 本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
15．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2﹣）∪
．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线?方程f′（x）=
在区
间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可． 解答： 解：
，（x＞0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线， ∴方程即∴a＜2．
若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．
在区间x∈（0，+∞）上有解． 在区间x∈（0，+∞）上有解．
则，解得x0=e．
此时．
．
综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪故答案为：（﹣∞，2﹣）∪
．
点评： 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
16．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 4π ．
考点： 球内接多面体．
专题： 计算题；空间位置关系与距离；球．
分析： 根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值． 解答： 解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示 可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球， ∵正四面体ABCD的棱长为4， ∴正方体的棱长为， 可得外接球半径R满足，解得R=
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时， 截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半， 可得截面圆的半径为r=故答案为：4π
=2，得到截面圆的面积最小值为S=πr=4π．
2
点评： 本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．已知函数f（x）=sinxcos（x﹣（1）求函数f（x）的最大值；
）+cos2x
（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，
求a的值．
考点： 余弦定理；三角函数的最值． 专题： 解三角形．
分析： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+数的最大值．
（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据△ABC的面积为得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值． 解答： 解：（1）函数f（x）=sinxcos（x﹣﹣1）
sinxcosx+cosx=（
2
）+，从而求得函
，求得bc=4，结合b+c=5求
）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cosx
2
sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，
故函数的最大值为+=．
（2）由题意可得f（A）==sin（2A+再根据2A+
∈（
，
），可得2A+
）+，∴sin（2A+=
，A=
．
）=．
根据△ABC的面积为bc?sinA=
2
2
2
，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．
利用余弦定理可得a=b+c﹣2bc?cosA=13∴a=．
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．
18．随着经济发展带来的环境问题，我国很多城市提出了大力发展城市公共交通的理念，同时为了保证不影响市民的正常出行，就要求对公交车的数量必须进行合理配置．为此，某市公交公司在某站台随机对20名乘客进行了调查，其已候车时间情况如表（单位：分钟） 组别 已候车时间 人数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ [0，0.5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25] 4 6 6 3 1 （1）画出已候车时间的频率分布直方图 （2）求这20名乘客的平均候车时间
（3）在这20名乘客中随机抽查一人，求其已候车时间不少于15分钟的概率．