dAP???Sgzdz
AP????Sgzdz???Sg?zdz?1?103?50?9.8?zdz??4.23?106J抽水所需的功
z1z15.0z2z26.5A??AP?4.23?106J
2．质量为m的质点在变力Ｆ=F0 (1－kt)（F0、k为常量）作用下沿ox轴作直线运动。若t =０时，质点在坐标原点，速度为v0，则质点运动微分方程为 ；速度随时间变化规律为v = ；质点运动学方程x = 。
F0?213?12?d2xF0?1?kt?；v0?F0?t?ktvt?答案：2?；0???t?kt?。 mdtm?22m3???解： （1）F?F0?1?kt?t?0,x?0,v?v0
d2xd2xF0?1?kt? F?ma?m2，所以，微分方程为：2?mdtdt（2）
dvF0??1?kt?dtmdv?F0?1?kt?m?vv0dv???F0?1?kt?dt 0mt所以，速度为：v?v0?F0?12??t?kt? m?2?F?1dx??v0?0?t?kt2?（3）dtm?2??x0dx??[v0?0tF01(t?kt2)]dt m2运动方程为：
x?v0t?F0?213??t?kt? 2m?3?
3．质量为m的子弹，以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力F? ；砂箱与子弹系统损失的机械能 ?E = 。 （注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案）
mM(2m?M)v02Mm2?E?v0答案：f?；。 22(M?m)2(m?M)(l?s)解：设共同运动的速率为v， 则
mmv0?(m?M)v，v?v0
m?n子弹停止时相对地面移动距离l + s，则有
v0mlMsv?121212?m2?f(l?s)?mv?mv0?mv0??1? 2222(m?M)??2121(m?M)2?11mM(2m?M)v0? f?mv0l?s(m?M)22(m?M)2(l?s)22121121m2v01Mm22?E?mv0?(M?m)v?mv0??v0
2222M?m2M?m 能量损失
4． 如图所示，质量m =2.0kg的质点，受合力F?12ti 的作用，沿ox轴作直线运动。已知t =０时x0=0，v0=0，则从t = 0到t = 3s这段时间内，合力F的冲量I为 ；质点的末速度大小为v? 。 答案：54N?s；27m/s。 解：m?2kgF?12tivt?Fv0?0
xot?0,x0?0,v?3t2
dvFa???6t
dtm?dv??6t
v00t1?0,t2?3,v1?v0?0v2?3?9?27m/s；I?m?v?2?27?54N?s
5．一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m，用手推一质量m = 0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1 = 0.02m，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2 = 0.1m后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦系数为 。 答案：0.2
解：在x1处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功
koAx1x212kx1，摩擦力做功2kx1212?0.2 ??mgx2，根据动能定理有kx1??mgx2?0，解得??2mgx22
三、计算题
1． 图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1=200g，m2=100g，m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。求：
（1）每个物体的加速度； （2）两根绳子的张力T1与T2。 答案：（1）a1?
A T1 B
m1 m2 T2
113g，a2?g，a3?g； 555 （2）T1?0.16g?1.568N，T2?0.08g?0.784N。
解：设两根绳子的张力分别为T1、T2； ?； m2、m3相对B轮的加速度为a2m1、m2、m3的加速度分别为a1、a2、a3。 根据牛顿运动定律
m1g?T1?m1a1；
m3
??a1) m2g?T2?m2a2?m2(a2??a1)； 2T2?T1?0 m3g?T3?m3(?a3)?m3(?a2由以上六式解得
1a1?g?1.96m/s2
5A2??g?3.92m/s2 a25a1T1T1Ba1m1T2T2a?2a2a?2m2a3m31a2?g?1.96m/s2
53a3?g?5.88m/s2
5T1?0.16g?1.568N
T2?0.08g?0.784N，加速度方向如图所示。
2．质量为60Kg的人以8Km/h的速度从后面跳上一辆质量为80Kg的，速度为2.9Km/h的小车，试问小车的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？ 答案：（1）5.09Km/h；（2）?1.77Km/h。 解：（1）设人和车的质量分别为m1和m2，初速率分别为v1和v2。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有m1v1?m2v2?（m1?m2）v，所以
v?m1v1?m2v260?8?80?2.9??5.09Km/h
m1?m260?80m2v2?m1v1?（m1?m2）v?
（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒
v??m2v2?m1v180?2.9?60?8???1.77Km/h
m1?m260?80
3． 一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F = - kx，而位移x = Acos?t，其中k、A、? 都是常量。求在t = 0到t = ?/2? 的时间间隔内弹力施于小球的冲量。 答案：?kA?
OF?解法一：由冲量的定义得
?xxI??2?0Fdt??2?0?kAcos?tdt??kA??sin?t|??2?0kA?
解法二：由动量定理 I?mv?mv0
而v0??A?sin?t??A?sin0?0，v??A?sin?t??A?sin?所以 I??mA??????A? 2?kA?，（这里利用了??k）。 m
4．一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数k = 196N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全弹性碰撞）。 答案：0.037m。
解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：
1 m1gh?m1v112又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v2有：
m1 h m2 m1v1?(m1?m2)v2
砝码与盘向下移动过程机械能守恒
12112kl1?(m1?m2)v2?k(l1?l2)2?(m1?m2)gl2 222平衡时，有 m2g?kl1
2解以上方程得：98l2?0.98l2?0.096?0，解得盘向下移动的最大距离为l2?0.037m。
5．如图所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星太阳最近的距离为5.0?1010m，这时它的速度为
v0 颗
b r v 得准离
7.5?104m/s。若不考虑其他行星的影响，试求这
流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄距离b。
答案：（1）1.8?104m/s；（2）2.1?1011m。 解：对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒
12GMm120?mv0???mv
2r2由此得流星刚进入太阳系时的速率为
2GM2?6.67?10?11?1.99?103042v0?v??(7.5?10)??1.8?104m/s 10r5.0?102流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒：mv0b?mvr
v7.5?10410流星飞向太阳的瞄准距离为b?r?5?10??2.1?1011m 4v01.8?10
习题三
习题三
一、选择题
1．一根长为l、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90?，则v0的大小为 [ ]
4M（A）mglgl2M； （B）； （C）32m16M2gl。 gl； （D）
3m2答案：A 解：
2?J1?1?J1?2?J?,m2l12?l??J?m?, J?M l ?111??2243J??Mg?l????22lv0mv0/2mM1J?J1(?1??2)211v02v0v0/2v01?，?2? ?1?????1，??JJl/2ll/2l2121?J??J??Mgl， J??11??Mgl， 22?2J?22J12?12?Mgl 4J2?ml2?4v0??2222?4?l?Mgl，3?mv0?Mgl，v2?16Mgl，所以 v?4M0021216Mm3m4?Ml3
gl 32．圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为4kg?m2。在恒力矩作用下，10s内其角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为 [ ]
（A）80J，80N?m； （B）800J，40N?m；（C）4000J，32N?m；（D）9600J，16N?m。 答案：D
解：?0?80，??40，t?10，J?4
??Ek?1212112J??J?0 ?Ek?J(?0??2)??4?(6400?1600)?9600(J) 2222
M恒定，匀变速，所以有
???0??t，??
?0??t，M?J??J??0??t?4?80?40?16N?m 103．一个转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为?0。设它所受阻力矩与转动角速度成正比M??k? (k为正常数)。
（1）它的角速度从?0变为?0/2所需时间是 [ ]
（A）J/2； （B）J/k； （C）(J/k)ln2； （D）J/(2k)。
（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]
2222（A）J?0/4； （B）?3J?0/8； （C）?J?0/4； (D) ?J?0/8。
答案：C；B。
解：已知 M??k?，?0,1J，???0
2d?d?d?k（1）M?J??k?，J??k?，??dt
dtdt?J??kJ???0d???t0dt，ln?kJ?J??t，所以 t?ln0?ln2 ?0Jk?k（2）A?
111?123J222?J?2?J?0?J??0??0???0 ?222?48?4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R，转动惯量J均相同），若分别用F（N）的力和加重物重力P?mg?F(N) 时，所
?1?2TF(F?mg)mg