答案：（1）653.3nm；（2）560nm
解：（1）依题意，此时在第一个界面的反射光无半波损失，而在第二个界面的反射光存在半波损失。所以，从薄膜上下表面反射的两光之间的光程差为
n1n2n3d??2nd?若某波长的光在反射中加强，该波长应满足
?2
24nd4?1.4?3501960解得 ????nm
2k?12k?12k?11960在可见光范围内，只有k=2符合，相应波长为??=653.3nm为红光。
2?2?1
（2）此时光在第一和第二个界面反射时均无半波损失。所以，从薄膜上下表面反射的两光之间的光程差为
2nd???k?k?1,2,3...
??2nd
干涉相长的条件为
2nd?k?k?1,2,3...
??2nd1120?nm kk1120?560nm 2在可见光范围内，可取k=2，相应波长为
??
4．玻璃表面附有一层厚度均匀的液体薄膜，垂直入射的连续光谱（波长范围在可见光及其附近）从薄膜反射。观察到可见光区波长为600nm的红光有一干涉相消，而波长为375nm的近紫外光有一干涉极大。设薄膜的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50，求薄膜的厚度。 答案：546nm
解：由于光在液体薄膜上下界面反射时都有半波损失，所以从薄膜上下两表面反射的两光间的光程差为
??2nd
当?1=600nm，干涉相消，所以
2nd??2k?1?当?2=375nm，干涉极大，所以
?12
2nd?k??2
式中，n为液体膜的折射率。 联立以上两式得
?2k?1?即
?12?k??2
2k?1?600?k??375 24k???2k?1?
5k, k?必须为整数。令k?2, 7, 12,,，得k??4, 12, 20,,。取k?2得
薄膜厚度
d?k??24?375??546nm 2n2?1.33而当k?7, 12,
,时，薄膜厚度太大，干涉现象消失。
5．在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为?1?4?10?3m；而当用未知单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为?2?3.85?10?3m，求未知单色光的波长。 答案：546nm。
解：由牛顿环干涉条纹的暗环半径公式r?kR?，可知第一暗环半径和第四暗环半径分别为
r1?R? r4?4R??2R? 其间距
??r4?r1?R? 所以
?2??2???? ?1??1?已知?1?589.3nm时，?1?4?10?3m，?2?3.85?10?3m，则未知波长
2?3.85?10?3???2??2?????1???589.3?546nm ?3??4?10?1???
一、选择题
1．在单缝衍射实验中，缝宽a = 0.2mm，透镜焦距f = 0.4m，入射光波长?= 500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？ [ ]
（A）亮纹，3个半波带； （B）亮纹，4个半波带； （C）暗纹，3个半波带； （D）暗纹，4个半波带。 答案：D
解：沿衍射方向?，最大光程差为
22 习题七
?3x???32?10??asin??a?0.2?10??10?6m=1000nm=2?，即??2?2??4?。因此，根f0.422据单缝衍射亮、暗纹条件，可判断出该处是暗纹，从该方向上可分为4个半波带。
2．波长为632.8nm的单色光通过一狭缝发生衍射。已知缝宽为1.2mm，缝与观察屏之间的距离为D =2.3m。则屏上两侧的两个第8级极小之间的距离?x为 [ ]
（A）1.70cm； （B）1.94cm； （C）2.18cm； （D）0.97cm。 答案：B
解：第 k级暗纹条件为asin??k?。据题意有
?x?2Dtan??2Dsin??2D代入数据得
k? a8?632.8?10?9?x?2?2.3??1.94?10?2m=1.94cm ?31.2?10
3．波长为600nm的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为 [ ]
（A）0、±1、±2、±3、±4； （B）0、±1、±3； （C）±1、±3； （D）0、±2、±4。 答案：B
解：光栅公式dsin??k?，最高级次为kmax条件k?2.5?10?3。又由题意知缺级???4（取整数）?6?600?10da?b1、±3（第2级缺，第4级接近90ok??2k?，所以呈现的全部光谱级数为0、±
a衍射角，不能观看）。
4．用白光（波长范围：400nm-760nm）垂直照射光栅常数为2.0×10-4cm的光栅，则第一级光谱的张角为 [ ]
（A）9.5?； （B）18.3?； （C）8.8?； （D）13.9?。 答案：C
解：光栅方程dsin??k?。k?1,?1?sin?1?1?d。
?1400?10?9?v?400nm,?1v?sin?sin?sin?10.17?9.5? ?6d2.4?10?9?1?r?1760?10?r?760nm,?1r?sin?sin?sin?10.32?18.3? ?6d2.4?10第一级光谱张角：??1??1r??1v?8.8?
?v 5．欲使波长为?（设为已知）的X射线被晶体衍射，则该晶体的晶面间距最小应为 [ ]。
（A）?/4； （B）2?； （C）?； （D）?/2。 答案：D
解：由布拉格公式2dsin??k?，得
d?由此可见，当k?1, ??k? 2sin??2时，d?dmin。所以
dmin?
?2
二、填空题
1．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若以钠黄光(?1＝589nm)为入射光，中央明纹宽度为4.0mm；若以蓝紫光(?2＝442nm)为入射光，则中央明纹宽度为________mm。 答案：3mm。
?y??解：单缝衍射中央明纹宽度为?y?2y1?2f???，所以，1?1 由此得
?y2?2a?2442?y1??4.0?3mm ?1589
2．单色光?1=720nm和另一单色光?2经同一光栅衍射时，发生这两种谱线的多次重叠现象。
?y2?设?1的第k1级主极大与?2的第k2级主极大重叠。现已知当k1分别为2, 4, 6,,时，对应的
k2分别为3, 6, 9,,。，则波长?2? nm。
答案：480nm。
解：在主极大重叠处，两谱线的衍射角相等，即
（a?b)sin??k1?1?k2?2 所以
?2?由题意知 由此求得
k1?1 k2k12? k23k122?1??1??720?480nm k233?2?3．为测定一个光栅的光栅常数，用波长为632.8nm的单色光垂直照射光栅，测得第一级主极大的衍射角为18°，则光栅常数d =_________；第二级主极大的衍射角? =_______。 答案：2047.8nm；38.3?
解：光栅方程dsin??k?，k?1,d??632.8632.8???2047.8nm； sin?1sin18?0.309?2?arcsin2?2?632.8?arcsin?arcsin0.62?38.3? d2047.8
4．一宇航员声称，他恰好能分辨他下方距他为H =160km的地面上两个发射波长550nm的点光源。假定宇航员的瞳孔直径D=5.0mm，则此两点光源的间距为?x? m。 答案：21.5m。 解：最小分辨角为
?1?1.22?D
又根据题意有 所以
?1??x H1.22?550?10?9?160?103?x?H?1?1.22??21.5m
D5?10?3??H
5．在比较两条单色X射线谱线波长时，注意到谱线A在与某种晶体的光滑表面成30?的掠射角时出现第1级反射极大。谱线B（已知具有波长0.097nm）则在与同一晶体的同一表面成60?的掠射角时出现第3级反射极大，则谱线A的波长为?A? nm；晶面间距为d = nm。
答案：0.17nm；0.168nm。
解：设谱线A的波长为?A，谱线B的波长为?B，按给定条件，由布拉格公式有
2dsin30??1??A，2dsin60??3??B
将两式相除得
?Asin30?1?? 3?Bsin60?3所以
?A?晶面间距
3?B?3?B?0.17nm 3d?
三、计算题
kB?Bk??AA?3?0.097?0.168nm
2sin?B2sin?A1．波长为600nm的单色光垂直照射到一单缝宽度为 0.05mm的光栅上，在距光栅2m的屏幕上，测得相邻两条纹间距?x?0.4cm。求：（1）在单缝衍射的中央明纹宽度内，最多可以看到几级，共几条光栅衍射明纹？（2）光栅不透光部分宽度b为多少？ 答案：（1）最多可以看到第5级，共11条明纹；（2）0.25mm。 解：（1）单缝衍射中央明纹的半角宽度
?1?sin?1?中央明纹在屏上的半宽度为
?a
2?6?10?7??f??1?f???0.024m=2.4cm ?5a5?10单缝衍射中央明纹宽度内干涉亮纹的最高级次
?km???x?6
而该最高级次的衍射方向正好与单缝衍射第一级暗纹方向相重，为缺级，所以最多可以看到第5级明纹。即在单缝衍射中央明纹宽度内可观察到0,?1,?2,?3,?4,?5共11条明纹。