? ???即
为三个独立谐振子Hamiltonian算符之和，根据量子力学? H ???
H, H, Hx
yz基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和：111 222x
xyyzzvhvhvhεννν?????? =+++++ ?????? ??????式 中
为经典基频，所以1 2πx yzf m
νννν= === 3 2x
yzvvvhεν?? =+++ ??
??第九章 第九章 第九章
第九章统计热力学初步 统计热力学初步 统计热力学初步
统计热力学初步1．按照能量均分定律，每摩尔气体分子在各平动自由度上的平均动能为。2RT现有1molCO气体于0oC、101.325kPa条件下置于立方容器中，试求： （1）每个CO分子的平动能；ε（
2）能量与此相当的CO分子的平动量子数平方和ε()222xyynnn++解：（1）CO分子有三个自由度，因此，21 233
38.314273.15 5.65710 J 226.02210R T L ε?× × ===×
××（
2）由三维势箱中粒子的能级公式() () {}2 222 2 23 223 222 222 23 21 23 3426 208 888
828.01045.6571018.314273.15 101.32510
6.6261106.02210 3.81110x yz xyzh nnn ma
mamVmnRT nnn hhhp ε
εεε?= ++ ??
∴++=== ?? ??
××××× ?? = ?? × ?? ××× =×2
．2．某平动能级的，使球该能级的统计权重。()45222=++zyxnnn解：根据计算可知，、和只有分别取2，4，5时上式成立。因此，该能xnynzn级的统计权重为g=3!=6，对应于状态。
452245425254245,,,,ψψψψψ542ψ3．气体CO分子的转动惯量，试求转动量子数J为4与3246mkg 1045.1?×=?I两能级的能量差，并求时的。ε?K 300=T kTε?解
：假设该分子可用刚性转子描述，其能级公式为()()J 10077.3 1045.18 10626.6 1220 , 8 122 462 34 2 2 ? ? ?×= ××× ×
?=?+=π ε π ε Ih JJJ2 221 0429.7
10233807.1300 10077.3? ?×= ×× × = ?k T
ε4．三维谐振子的能级公式为，式中s为量子数，即()νεhss? ? ? ? ? ? += 2 3。
试证明能级的统计权重为? ,3 ,2 ,1 ,0=++=zyxsvvv()sε()sg()()()12
2 1
++=sssg解：方法1，该问题相当于将s个无区别的球放在x,y,z三个不同盒子中，每个 盒子容纳的球数不受限制的放置方式数。 x盒中放置球数0，y,z中的放置数s+ 1
x盒中放置球数1，y,z中的放置数s… ……………………………………. x盒中放置球数s，
y,z中的放置数1()()()21 2 11
1++==∑+=ssjsgsj方
法二，用构成一三维空间，为该空间的一个z,vvv和yxszyx=++vvv平面，其与三个轴均相交于s。该平面上为整数的点的总数即z,vvv和yx为所求问题的解。这些点为平面 在平面上的交?
,2 ,1 ,0,, , , ,111322====nnnnnnzyxvvvszyx=++vvv点： 由图可知， () ()()12 2 1 121 ++
++++=ss ssg?5
．某系统由3个一维谐振子组成，分别围 绕着A,B,C三
个定点做振动，总能量为
。试列出该系统各种可能的能级分布方式。21 1νh解：由题意可知方程组j j j j1 11 j 22 3h h n nì ? ÷
?? += ÷ ÷ ? ? ? ? í ? ? = ? ? ? ??? ?n n 的
解即为系统可能的分布方式。 方程组化简为，其解为j jj
4n=?6．计算上题中各种能级分布拥有的微态数及系统的总微态数。 解：对应于分布的微态数为{ }1,2,nnnLj j j j! !n n ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? W=? ?所
以上述各分布的微态数分别为