弹性波课程报告
——有限差分纵波波场模拟
姓名：邓健学号：1201410215
课程名称：弹性波理论任课老师：顾汉明
专业：地球探测与信息技术时间： 2015年5月
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摘要
地震波场数值模拟是勘探地震学的重要研究课题之一,也是研究波动现象的重要手段。地震波场数值模拟常用的方法有伪谱法、有限差分法、有限元法等。有限差分法具有计算速度快、占用内存小等优点，该方法对于近远场及复杂边界都有广泛的适用性，能够准确地模拟波在各种介质及复杂结构地层中的传播规律，是勘探地震学中应用最广泛的数值计算方法。
本文以波动理论为理论基础，利用泰勒级数展开式推导出波动方程的有限差分格式及其离散表达式。针对传统二阶精度差分方法模拟精度较低的问题，推导出时间域二阶空间域四阶精度的有限差分方程，并综合分析了初始条件、震源项、算法稳定性及数值频散等因素在有限差分法数值模拟中的影响。有限差分数值模拟计算是在一个有限的区域内进行的，当波传播到边界时就会产生边界反射，这是进行数值模拟计算时所不期望出现的。本报告通过调研大量文献资料，对效果较好的透明边界条件进行了详细分析。在此基础上,分别推导得到这种边界条件方法的离散表达式，并在数值模拟过程中进行验证。
通过建立均匀模型、层状模型及高速透镜体模型，基于Matlab语言编程，论文实现了波动方程有限差分算法的数值模拟。对不同地质理论模型进行模拟，从模拟结果的对比分析中可以看出，模型参数的选择及各参数间的相互关系对模拟结果有着显著影响。无论是模拟精度，还是模拟计算效率，有限差分算法都具有一定优势。通过综合研究，论文认为波动方程有限差分算法具有算法简单、计算效率高、模拟精度较高等特点，理论研究意义大，应用前景广阔。 关键词：数值模拟，波动方程，有限差分，边界条件
目录
1 前言 ................................................................................................................................................. 1
1.1 地震波场数值模拟概述 ...................................................................................................... 1 1.2 有限差分法及其与几种常用数值模拟方法的比较 ........................................................... 1 2 波动方程有限差分法数值模拟 ..................................................................................................... 2
2.1 有限差分原理 ...................................................................................................................... 2 2. 2 波动方程的建立 ................................................................................................................. 3 3 二维声波方程有限差分格式的建立 ............................................................................................. 6
3.1 声波方程 .............................................................................................................................. 6 3.2 波动方程有限差分格式的建立 .......................................................................................... 7 3.3 高阶差分方程 ...................................................................................................................... 9 4 波动方程有限差分的几个问题 ................................................................................................... 12
4.1 初始条件 ............................................................................................................................ 12 4.2 震源函数 ............................................................................................................................ 12 4.3 差分方程的稳定性及收敛性 ............................................................................................ 13 4.4 频散问题 ............................................................................................................................ 13 5 有限差分算法中边界条件的处理 ............................................................................................... 14
5.1 一维透明边界条件 ............................................................................................................ 15 5.2 二维透明边界条件 ............................................................................................................ 16 5.3 透明边界条件的差分格式 ................................................................................................ 18 6 简单模型试算 ............................................................................................................................... 20
6.1均匀模型 ............................................................................................................................. 20 6.2 水平层状模型和高速透镜体模型 .................................................................................... 22 7结论与建议 .................................................................................................................................... 25 参考文献 ........................................................................................................................................... 26
附录 ........................................................................................................................................... 28
1前言
1.1地震波场数值模拟概述
地震波场数值模拟简单说来，就是已知地下介质构造及其参数，再用理论计算方法来研究地震波在地下介质中的传播规律，合成地震记录的一种技术方法。随着地震勘探技术的发展，数值模拟方法已经贯穿于地震数据的采集、处理和解释的全过程，而且在确定观测的合理性、检验处理和解释的正确性等方面都有了广泛的应用[1-3]。
地震波数值模拟问题的研究主要包括三个方面： (1)地震波场数值模拟原理； (2)地震波场数值模拟算法； (3)数值模拟的计算机实现。
地震波场数值模拟方法的理论基础主要是波动理论和射线理论。射线理论方法是求出质点运动方程的渐进近似解，这种方法计算速度快，但是精度较低。而波动理论方法则是用数值计算方法直接求出波动方程的解，其模拟结果中包含丰富的波动信息，模拟结果较为精确。
数值模拟又可分为波动方程的解析解和数值解。对简单的地质模型就可以得到其精确解，但对于复杂的地质模型，只有通过数值解来说明波在底下介质中的传播。通常解析解只是作为数值解的一种检验[4-6]。
1.2 有限差分法及其与几种常用数值模拟方法的比较
在地震勘探中，为了研究地震波在地下各种介质中的传播规律，就需要对波场进行数值模拟。常用的数值模拟方法有伪谱法、有限差分法，有限元法等。有限元法依据变分原理，通过灵活的网格剖分，用简单形态逼近实际的地质体，能处理多种介质和自然边界条件。适用于非规则网格的计算，方便有效，模拟的精度高。但是有限元法的问题是不适用于大规模的模型的计算，而且计算量大[7]。
伪谱法在20世纪七十年代引入数值模拟计算领域的，它是利用傅立叶变换来计算波场的空间
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