的。其中 s ( x , z , t )为震源函数。对于均匀介质，密度ρ为常数，则二维声波波动方程就可以表示为：
在实际问题中，我们总是用一个有限宽频带的时间函数来代替 s ( x , z , t )函数，以便能够真实地反映地震波的传播[21]。
3.2 波动方程有限差分格式的建立
上一节中讨论了差分的原理和几种常见的差分格式，在这个基础上，我们结合波动方程，对纵波波动方程的有限差分格式进行推导。
令
，其中Δx，Δz是空间间隔，Δt是时间间隔。用k表示时间方
向的离散网格，m表示x方向的离散网格，n表示z方向的离散网格。利用泰勒级数展开式将在
展开可得：
同理，
在
处的展开式为：
用（3-3）式减去（3-4）式，就可以推出关于t的一阶中心差分：
如果将（3-3）式与（3-4）式相加可得
7
进一步推导就可以得到关于t的二阶中心差分：
同理也可以推导出关于x，z的中心差分格式：
关于x的一阶中心差分
关于x的二阶中心差分：
关于z的一阶中心差分：
关于z的二阶中心差分：
若令Δx =Δz=h，利用上面关于x,z,t的中心差分方程就可以得到二维波动方程的有限差分方程：
对上式继续推导可得：
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其中
，上式就是二阶波动方程的有限差分格式。
如果我们继续利用泰勒级数展开式，则可以得到：
这样我们就能够得到时间域二阶空间域四阶的波动方程有限差分格式：
上式中k表示时间方向的离散网格，m表示x方向的离散网格，n表示z方向的离散网格，需要注意的是，这里同样也假设Δx=Δz=h，即网格步长相等[5 ,22-24]。
。
3.3高阶差分方程
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将
?2uik,j?t2采用高阶差分会有很多时间层，计算较复杂。为此时间上采用2阶，空间上可采用
?v高阶。为了方便起见，本文空间步长在x，z轴上相等，则?倒，可以得到不同精度的声波差分方程。 时间2阶，空间6阶
?t?t???v通过上述类似推?x?z
时间2阶，空间8阶
时间2阶，空间10阶
时间2阶，空间12阶
时间2阶，空间14阶
图3-1为均匀介质中各阶精度波场快照对比图。模型参数为网格500×500，震源位置（250，250），空间步长x和z方向均为1m,采样时间间隔100us。所用的震源是雷克子波，子波频率30Hz。
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从下图可以看出，时间2阶，空间2阶精度波场出现明显频散，随着空间精度的增高，频散逐渐减弱。所以提高差分精度可以有效减轻频散，但计算量也随之增加。
图3-1均匀介质中各阶精度波场快照图
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