则由式（5-12）可得
把式（5-11）代入式（5-15）可得r=0，这时在右边界x=a上就不会产生反射。同理可得在左边界x=a处，要使r=0，则取
如果取
并在边界上令
当x=a时取
当x=a时取
以上这两种边界条件都只有很小的边界反射，但还需要考虑到有限差分法的稳定性条件。如果把
项的系数看成当的特殊情况下，的系数就为1/2。
则（5-19）式可以写为
由波动方程式（5-6）和上式联立推导可得
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对式（5-22）进行整理化简就可得，x = a时的右边界条件为
同理可得x=-a时的左边界条件为
当z=b时，底边界条件为
以上得到的式（5-23）、式（5-24）及式（5-25）就分别为二维均匀介质波动方程的右边界条件、左边界条件和底边界条件。
5.3 透明边界条件的差分格式
在推导出二维均匀介质波动方程的透明边界条件基础上，下面在进一步推导 一下这些边界条件的差分格式。
对右边界条件（5-24）两边同乘以h可得下式
其中h=Δx=Δz，s=VΔt/Δx。由于通过泰勒级数展开式有
因此把式（5-28）和式（5-27）代入式（5-26）可得
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上式中的微分项可以表示为
然后把式（5-30）各式代入式（5-29）即得到右边界条件的差分格式
同理可以得到左边界条件x=a的差分格式为
底边界条件z = b的差分格式为
顶边界条件z=0的差分格式为
上面得到的式（5-34）、式（5-33）、式（5-32）及式（5-31）就是二维均匀介质波 动方程透明边界条件的差分格式。如下图5-1（右）所示，可以看出在加入了边界条件 后，边界反射明显减少，说明透明边界条件对边界反射有很好的吸收效果。
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图5-1 未加边界条件（左）与加入边界条件（右）波场快照对比图（所加边界条件为透明边界，差分精度为时间
2阶空间2阶）
6 简单模型试算
6.1均匀模型
模型速度为2000m/s，密度为常数，网格大小为500×500，网格空间采样步长为1m，采样时间间隔为100μs，震源坐标为（250m，20m），震源震动时间5ms，子波为雷克子波，频率为30Hz，模型见图6-1。
图6-2中包含了20-120ms的波场快照，差分精度为时间2阶空间12阶，边界条件为透明边界条件。从图中可以看出，波以震源为中心，呈圆弧向外传播，当波传播至顶边界时有微弱的反射波，说明利用透明边界条件并不能无完全消除人工边界产生的反射波。另外，从图中还可以看出有轻微的频散现象。图6-1均匀模型示意图
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图6-2 均匀模型波场快照图（差分精度为时间2阶，空间12阶，边界条件为透明边界条件）
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