第3章 电阻电路的一般分析
主要内容
1.图论的初步概念； 2.支路电流法；
3.网孔电流法和回路电流法； 4.结点电压法。
§3-1 电路的图
1.求解电路的一般方法
1) 选取合适的电路变量（电流和/或电压）；
2) 根据KCL, KVL以及元件的电压、电流关系（VCR），建立独立方程组； 3) 解出电路变量。
学习图论的初步知识，目的是研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量。
2.图
① G = (V, E )：表示G是结点和支路的一个集合。 结点（顶点，点）：支路的汇合处；
支路（线段，边）：是一个抽象的线段（代表一个电路元件）； ② 孤立结点：不关联任何边的点；
③ 移去支路：移去该支路，但其所关联的两个结点保持不变； ④ 移去结点：把它所关联的全部支路同时移去。
3.电路的“图”
① 电路的“图”：把电路中每一条支路画成抽象的线段, 形成的一个结点和支路的集合；
② 用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的结点数和支路数将随之而不同；
③ 有向图：赋予支路方向的图；
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a, 指定电路中每条支路电流的参考方向，电压取关联参考方向； b, 指定电路的图中每一条支路的方向；
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
一、KCL的独立方程数（n?1）
可以证明，对于具有n个结点的电路，在任意（n?1）个结点上可以得出（n?1）个独立的KCL 方程，相应的（n?1）个结点称为独立结点。
① ∵ k?1?(?i)nk??((?ij)?(?ij))?0j?1b
因为每一支路电流 ij 必然流出一个结点，并流入另一结点，故独立方程数
?n。
② 从这n个方程中，去掉任意一个，余下的 n?1 个方程一定互相独立，因去掉一个方程后，必有某些支路电流不可能与其他支路电流相消。
二、KVL 的独立方程数（b?n?1） 1.独立回路
① 连通图：图G的任意两个结点之间至少存在一条路径。
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② 子图：如果 G1 的每个结点都是图G 中的结点，G1 的每条支路都是G中的支路，则G1 是G 的子图。
③ 回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合路径就构成G的一个回路。
④ 树：连通图G的一个树T，是指G的一个子图，它必须是：a，连通的；
b,包含G的全部结点；c，不包含回路。
可以证明，任一个具有N个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为（n?1）。
树支: (3 , 4 , 5)连支: (1 , 2 , 6),回路： (1 , 3 , 4) ; (2 , 3 , 5 ) ; (4 , 5 , 6) ; (1 , 2 , 6) 树支: (1 , 4 , 5)连支: (2 , 3 , 6),回路：(1 , 2 , 4, 5) ; (1 , 3 , 5 , 6 ) ; (2 , 3 , 4 , 6)
⑤单连支回路：G的任意一个树，加入一个连支后形成的一个回路.
a , 除所加连支外均由树支组成；
b, 由全部连支形成的单连支回路（基本回路）构成基本回路组。基本回
路组是独立回路组；
c, 根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程组；
d, 选择不同的树，可以得到不同的基本回路组。
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T1 ：树支：（1，3，5）； 回路：（2，3，5）；（1，3，4），（1，3，5，6） T2 ：树支：（3，4，5）； 回路：（1，3，4）；（2，3，5）；（4，5，6） T3 ：树支：（1，2，4）； 回路：（1，3，4）；（1，2，4，5）；（1，2，6）
2.网孔
① 平面图：把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，否则，称为非平面图。
② 网孔：平面图的一个“网孔”是指它的一个自然“孔”，它限定的区域内不再含有支路；
③ 平面图的全部网孔是一组独立回路； ④ 平面图网孔数 = 独立回路数。
3.KVL的独立方程数 = 独立回路数
① 平面电路： 找网孔，对网孔列KVL方程；
② 非平面电路：先找树，再找单连支回路，对单连支回路列KVL方程；
§3-3 支路电流法
1.2b法
以支路电压和电流为电路变量，共有2b个未知量。 ① 按KCL列出（n?1）个独立电流方程； ② 按KVL列出（b?(n?1)）个独立电压方程；
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③ 按支路的电压、电流关系（VAR）列出 b个VAR方程； ④ 由2b个方程求解2b个未知量。
2.支路电流法
①将b个支路电压、电流关系（VAR ）方程代入（b?(n?1)）个KVL方程；消去支路电压变量，得到(b?(n?1))个以支路电流表示的KVL方程，加上原有的（n?1）个独立的结点电流方程； ② b个方程求解 b个支路电流 。
??i1?i2?i6?0?u1??us1?R1i1??KCL ??i2?i3?i4?0 (1) u2?R2i2???i?i?i?0??456?u3?R3i3VAR ? (3)u?Ri?u1?u2?u3?044?4??u5?R5i5?R5is5KVL ??u3?u4?u5?0 (2)???u?u?u?0??u6?R6i646?2 将式（3）代入式（2）得
??uS1?R1i1?R2i2?R3i3?0???R3i3?R4i4?R5i5?R5iS5?0??Ri?Ri?Ri?0224466 ?
?R1i1?R2i2?R3i3?uS1?? ??R3i3?R4i4?R5i5??R5iS5 (4)??Ri?Ri?Ri?0224466?
式（1）和式（4）联立求解可得支路电流。
3.KVL方程的一般形式
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