② 整理后可得
?(R1?R4?R5) il1?(R1?R4) il2?R4 il3?US1?US4???(R1?R4) il1?(R1?R2?R4?R6) il2?(R4?R6) il3??US1?US4? ?R4 il1?(R4?R6) il2?(R3?R4?R6) il3??US3?US4
③ 一般形式（设p?b?(n?1)）
?R11 il1?R12 il2???R1P ilp?uS11??R21 il1?R22 il2???R2P ilp?uS22?????????????????? ?Rp1 il1?Rp2 il2???Rpp ilp?uSpp
这里：
a, 自电阻Rii?0,i?1,2,?,p,第i个回路的全部电阻之和，
b, 互电阻Rij,i?j,i,j?1,2,?,p,第i个回路与第j个回路的公共电阻之和，若两个回路电流通过公共电阻时方向一致取“+”，否则取“-”；
c, 电压源电压 uSii,i?1,2,?,p,第i个回路电压源电压升的代数和（即
电压源电压的方向与回路电流方向一致时取“-”，否则取“+”。
3.电路中含有电流源的情况
① 含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路方程；
② 存在无伴电流源时：
a, 选取电流源支路作连支，则该回路的电流（连支电流）就是电流源电流；
b，把电流源的电压作为变量，增加一个独立的回路电流与电流源之间的约束关系
4.电路中含有受控电压源的情况：
① 将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程； ② 再把受控电压源的控制量用回路电流表示； ③ 将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。 例3-5：试求下图中电流I1。
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解：选树时，使电压源支路作为树支，并使电流源、受控电流源及受控源的控制支路位于连支中，由于只有一个未知数 I1，故只需对I1所流经的回路列写KVL方程
(5?2?4)I1?(2?4)?4?4?1.5I1??25?19?30 ?I1??12A
例3-6：下图所示电路中有无伴电流源 iS1，无伴电流控制电流源 iC??i2,电压控制电压源 uC??u2,电压源US2,US3，列出回路电流方程。
解：选树支如粗实线所示，将连支电流作为回路电流，则
?i2?il2??u2?R2(il1?il2)?il1?iS1??R i?(R?R) i?R i?R i?U?U?2l123l23l33l4S2S3??il3?iC?? il2? ??R3 il2?R3 il3?(R3?R4) il4??uC?US3
整理可得
??R2?(1??)R3? il2?R3 il4?US2?US3?R2 iS1?????R2?(1??)R3? il2?(R3?R4) il4?US3??R2 iS1 R1 对回路电流无影响!
5.回路电流法的步骤
① 根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路（使电流源、受控电流源出现在连支中），指定各回路电流（即连支电流）的参考方向；
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② 按一般公式列出回路电流方程，自电阻总是正的，互电阻的正负由相关的两个回路电流通过共有电阻时的参考方向是否相同而定。另外，要注意右边项取代数和时有关电压源前面的“+”、“-”号；
③ 电路中含有受控源或无伴电流源时，按前述方法处理。
§3-6 结点电压法
1.结点电压是一组完备的独立电压变量
① 任选一个结点为参考点，其他结点到参考点的电压降，称为该结点的结点电压，共n?1个；
② 完备性： 一旦求出了n?1个结点电压，全部b条支路电压均可根据KVL随之确定，因一条支路必然关联两个结点。
③ 独立性： 因沿任一回路的各支路电压如以结点电压表示，列写的KVL方程恒等于零，因此，就KVL 来说，各结点电压彼此独立无关。 图中所示回路：u23?u34?u42?0 ?un2?un3?un3?(?un2)?0 ④ 求结点电压需要根据KCL及VAR来列方程。
2.求解过程及结点电压方程的普遍形式
2 un2?i2?i1?i5?iS?0? G1(un1?un2)?i1, G??KCL:??i1?i2?i3?0VAR:?G3(un2?un3)?i3, G 4 un3?i4??i?i?i?0?G(u?u)?in35?345?5n1
整理可得
?(G1?G5) un1?G1 un2?G5 un3?iS???G1 un1?(G1?G2?G3) un2?G3 un3?0??G u?G u?(G?G?G) u?05n13n2345n3 ?
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概括为一般形式
?G11 un1?G12 un2?G13 un3?iS11??G21 un1?G22 un2?G23 un3?iS22?G u?G u?G u?i32n233n3S33或 ?31n1?G11?G?21??G31G12G22G32G13??un1??iS11??u???i?G23? ??n2??S22?G33????un3????iS33??
推广到n个结点的电路，其结点方程的普遍形式为
?G11 un1?G12 un2???G1(n?1) un(n?1)?iS11??G21 un1?G22 un2???G2(n?1) un(n?1)?iS22???????????????????????G u?G(n?1)2 un2???G(n?1)(n?1) un(n?1)?iS(n?1)(n?1) ?(n?1)1n1
这里：① 自电导Gii?0, i?1,2,?,n?1,连接到第 i 个结点的全部电导之和；
② 互电导Gij?0, i?j, i,j?1,2,?,n?1,连接在结点 i 和结点 j 之间的电导之和的负值；
③ 注入电流 iSii, i?1,2,?,n?1,注入到第i个结点的电流源电流的代数和；
例3-7：列出下图的结点电压方程。
解：结点编号如图所示，则有
?(1?1?1) u?1 u?120?20k40k10kn110kn220k???1 un1?(1?1?1) un2??9020k10k40k40k ?10k un1?40 V, un2?10 V ?例3-8：试列出下图所示电路的结点电压方程。
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解：列结点电压方程时，如果电压源跨接在两个结点之间，怎么办？先设一个未知电流！
?(G1?G2) un1?G1 un2??I???G1 un1?(G1?G3?G4) un2?G4 un3?0??G u?(G?G) u?I4n245n3 ? 补充：un1?un3?US，
如果将结点3选作参考结点，则只需列两个结点方程！
3.求得各结点电压后，可以根据VAR求出各支路电流；
列结点电压方程时，不需要事先指定支路电流的参考方向，如要检验答案，应按支路电流用KCL进行。 列写结点电压方程。 用结点电压法求各支路电流。
4.电路中含有无伴电压源的情况：
1）选无伴电压源的一端连接点作为参考点， 则关于另一端的结点电压已知，无需再列方程！
2）把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系。
例3-9 ：试列出下图所示电路的结点电压方程。
解法一：
?un1?US1???G3 un1?(G2?G3) un2?IS2
解法二：设无伴电压源电流为 i，则
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