考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中求出BD的长度，继而可求得AB的长度． 解答： 解：过点C⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，
∵∠ACD=35°，AC=100m，
∴AD=100?sin∠ACD=100×0.574=57.4（m）， CD=100?cos∠ACD=100×0.819=81.9（m）， 在Rt△BCD中， ∵∠BCD=45°， ∴BD=CD=81.9m，
则AB=AD+BD=57.4+81.9≈139（m）． 答：A、B之间的距离约为139米．
点评： 本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
23． 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）求tan∠DBC的值； （3）求线段BF的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．
分析： （1）根据等腰梯形可得到∠ABE=∠C，结合条件可证得结论；
（2）过D作DG⊥BC，则可求得BG、CG，在Rt△DCG中可求得DG，在Rt△BGD中由正切函数的定义可求得tan∠DBC；
（3）由（2）可求得BD，结合（1）中的相似可求得BE，再利用平行线分线段成比例得到=
，代入可求得BF．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC， ∴△ABE∽△BCD；
（2）解：过D作DG⊥BC于点G，
∵AD=1，BC=3，
∴CG=（BC﹣AD）=1，BG=2， 又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1， ∴DG=，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=
=
；
，
（3）解：由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD=由（1）△ABE∽△BCD可得又∵AD∥BC， ∴∴=
=
，且DF=BD﹣BF，
，
=
，即=
=，解得BE=，
解得BF=．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，在（2）中构造直角三角形，求得DG是解题的关键，在（3）中求得BE、BD的长是解题的关键．
24． 如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，
2
抛物线y=x+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B， （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．
分析： （1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣
求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特
征求出点B的坐标；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题． 解答： 解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）； 由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；
2
把点C（0，4）代入y=x+kx+k﹣1，得k﹣1=4， 解得：k=5，
2
∴此抛物线的解析式为y=x+5x+4， ∴此抛物线的对称轴为x=﹣
2
=﹣．
令y=0得x+5x+4=0， 解得：x1=﹣1，x2=﹣4， ∴点B的坐标为（﹣1，0）．
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4， ∴AC=
=4
，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°． 又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC， ∴
=
，即
，
=
，
解得：CD=
∴OD=CD﹣CO=﹣4=， ）．
∴点D的坐标为（0，﹣
点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（2）小题的关键．
25． 如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE， （1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）联结CD，当
=
时，求x的值．
考点： 相似形综合题；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；分类讨论．
分析： （1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可； （2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到∠DFE=
=
=
=
，从而可得y=cot∠CFE=cot
；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）
下的x值，就可得到该函数的定义域；
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD=EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．由
=
可得tan∠HOC=
=
，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线
段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值． 解答： （1）证明：如图1，
由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°． ∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°， ∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB， ∴△DEK∽△DFB；
（2）解：∵∠A=∠AKD=45°， ∴DK=DA=x． ∵AB=2， ∴DB=2﹣x．
∵△DFB∽△DEK， ∴
=
，
=
=
．
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE=当点F在点B处时， DB=BC=AB?sinA=2×当点E在点A处时， AD=AC=AB?cosA=2×∴该函数的解析式为y=
==
，AD=AB﹣AD=2﹣；
；
，定义域为2﹣
＜x＜
；