化简得Sn?Sn?1Sn?1(n?3), 又由a12?1,a2?a?1得
2111??, 解得a3?a(a?1), aa?1a32∴S1?1,S2?a,S3?a，也满足Sn?Sn?1Sn?1, 而Sn恒为正值, ∴数列?Sn?是等比数列. ⑵?Sn?的首项为1，公比为a，Sn?an?1.当n?2时,an?Sn?Sn?1?(a?1)an?2,
1,n?1?∴an??. n?2(a?1)a,n?2?当n?1时,A?an?1a1?a3a2?3a?31333??a2??[(a?)2?]?,
222248此时A?an?1 当n?2时, A?an?1an?an?2(a?1)an?2?(a?1)an??an?1??(a?1)an?1
22(a?1)an?2(a2?2a?1)(a?1)3an?2. ??22∵Sn恒为正值 ∴a?0 且a?1,
若0?a?1,则A?an?1?0, 若a?1,则A?an?1?0. 综上可得,当n?1时, A?an?1；
当n?2时，若0?a?1，则A?an?1， 若a?1,则A?an?1
n?1?1,2k?3a?⑶∵a?2 ∴n?n?2 ,当m?1?k?2m时, bk?ak?ak?1?2.
2,n?2?若n?m,n?N?,则由题设得b1?b2m,b2?b2m?1,?,bn?b2m?n?1
Tn?b1?b2???bn?b2m?b2m?1???b2m?n?1?
24m?3?24m?5???24m?2n?124m?3(1?4?n)24m?1(1?2?2n) ???131?4若m?1?n?2m,n?N?,则Tn?Tm?bm?1?bm?2???bn
11
24m?1(1?2?2m)22m?1(1?4n?m)24m?1(1?2?2m)2m?12m?12n?3???2?2???2?31?4324m?1?22n?1?22m.
?,3综上得：
?24m?1(1?2?2n),1?n?m??3Tn??4m?12n?12m?2?2?2,m?1?n?2m?3?
20.设函数f?x??x2?aln?x?1?，a?R.（注：(ln?x?1?)??（1）讨论f?x?的单调性.
1）. x?1（2）若f?x?有两个极值点x1,x2，且x1?x2，求f?x2?的取值范围.
a， x?12令f??x??0，所以2x?2x?a?0
解：（1）f??x??2x?①若??4?8a?0，即a?②若a?1时，f?x?在??1,???递增. 21 2（Ⅰ）若0?a???1?1?1?2a???1?1?2a,??，则f?x?在??1,和上递增， ???????222??????1?1?2a?1?1?2a?,递减. ???22??（Ⅱ）若a?0，
??1?1?2a???1?1?2a?,???f?x?单调增区间为????1,?. ??，单调减区间为?22????1综上所述：当a?时，f?x?在??1,???递增.
2??1?1?1?2a???1?1?2a,??若0?a?，则f?x?在??1,和上递增， ???????222??????1?1?2a?1?1?2a?,在?递减. ???22????1?1?2a???1?1?2a?,???1,若a?0，f?x?单调增区间为?，单调减区间为. ???????22?????1?（2）若f?x?有两个极值点x1,x2，则x2???,0?.
?2?在?
12
因为2x22?2x2?a?0，所以a??2x22?2x2，
222因为f?x2??x2?aln?x2?1??x2?2x2?x2ln?x2?1?.
??
22令g?x??x?2x?xln?x?1?，x??????1?,0?. ?2?则g??x???2?2x?1?ln?x?1?.
?1??1?,0?，所以2x?1?0，x?1??,1?,ln(x?1)?0.
?2??2?所以g??x??0
因为x???1??1?1?,0?单调递增，故g?x????aln,0?.
2??4?2?1??1所以f?x2????aln,0?.
2??4所以g?x?在x???21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲
如图，圆O的直径AB?6,C为圆周上一点，BC?3,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求?DAC的度数与线段AE的长.
OC?3,因此?CBO?600,由于?DCA??CBO, 1．解：如图，连结OC，因BC?OB?00所以?DCA?60，又AD?DC得?DAC?30; 5分
又因为?ACB?90,得?CAB?30,那么?EAB?60,
0从而?ABE?30，于是AE?0001AB?3. 10分 2
13
B．选修4—2：矩阵与变换
?1??2a?已知二阶矩阵A??的属于特征值－1的一个特征向量为??3?，求矩阵A的逆矩阵. ?b0?????2a??1??1??21?解：由题知?=-1，得 ∴A= ?????? 5分 ????????b0???3??30???3?1??0?3? ?????? 10分 A?1???2?1???3???C．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方
?x??3t,程?2cos2??3?2sin2??3,直线l的参数方程为?(t为参数,t?R).试求曲线???y?1?tC上点M到直线l的距离的最大值.
x2?y2?1. ??????2分 解：曲线C的直角坐标方程是3直线l的普通方程是x?3y?3?0. ??????4分 设点M的坐标是(3cos?,sin?),则点M到直线l的距离是
3|2sin(??)?1||3cos??3sin??3|4d??. ????7分
22d取得最大值6?3. ??????10分 2?D．选修4—5：不等式选讲
2（1）设x是正数，求证：?1?x?1?x???1?x??8x33；
233（2）若x?R，不等式?1?x?1?x1?x?8x是否仍然成立？如果仍成立，请给出
????证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
3简证：（1）∵x?0，∴1?x?2x?0， 1?x?2x?0，1?x?2xx?0，三个同
22向正值不等式相乘得?1?x?1?x???1?x??8x33． ------------------5分
14
简解：（2）x?R时原不等式仍然成立．
思路1：分类讨论x?0、?1?x?0、x??1、x??1证；
2?13???2思路2：左边=?1?x??1?x???x?????0． ---------------10分
2?4?????2二、必答题：本大题共2小题.每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．
22.如图，平面ABDE?平面ABC，?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，四边形
1ABDE是直角梯形，BD∥ＡＥ，BD?BA，BD?AE?2,O、M分别为CE、AB的
2E 中点．
(1) 求异面直线AB与CE所成角的大小； (2) 求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．
解：∵DB?BA，又∵面ABDE?面ABC，面ABDE?面ABC?AB，DB?面ABDE，∴DB?面ABC，∵BD∥AE，∴EA?面ABC， ????2分
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为
z E z轴，建立空间直角坐标系， ∵AC?BC?4，
∴设各点坐标为C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，
A M B O D C
O D x A M y B C D(0,4,2)，E(4,0,4)，
????????则O(2,0,2)，M(2,2,0)，AB?(?4,4,0),CE?(4,0,4)， ????CD?(0,4,2)，
?????????OD?(?2,4,0)，MD?(?2,2,2).
15