整理得：2m?3n?4c?12，
. ········ 8分
?m?1?可以找到惟一一组适合方程的正整数解为?n?2??c?1结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正
六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） ······· 10分 24．（本小题满分12分）
解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. ····· 4分
A （2）过P作PM?BE，交BE于M，
∴?BMP?90?.
D ACPM在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB?， ?P ABBPPM88Q ∴ . ∴PM = t. ?2t105B M E C F ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t. ∴y = S△ABC－S△BPE =
=∵a45t?212BC?AC4－
212BE?PM=
12?6?8－
12图（2）
??6?t??85t
245t?24 = ?t5?3??845.
?45?0，∴抛物线开口向上.
845∴当t = 3时，y最小=.
845答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm. ···· 8分
2
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作PN?AC，交AC于N， ∴?ANP??ACB??PNQ?90?.
A ∵?PAN??BAC，∴△PAN ∽△BAC.
∴∴
PNBCPN6??APAB?ANAC?.
AN8D .
B P N Q E C 图（3）
10?2t10F
∴PN?6?65t，AN85?8?85t.
∵NQ = AQ－AN， ∴NQ = 8－t－(8?t) =
35t．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP . 6?6t3t∴
PN?NQ . ∴
5?5 .
FCCQ9?tt6?6t∵0?t???? ∴
5?3
9?t5解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分