高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 6 页 学院 专业
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3223则??(x?xy)dx?(xy?y)dy= ( ).
L (A)2?3
34a; (B)??a; (C); (D)??24a. 答(D).
3. 设L是从O(0,0沿)折线y?2?x?2到A(4,0)到的折线段,则
?Cxdy?ydx?( )
(A)8; (B)?8; (C)?4; (D)4. 答(B).
4. 设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数,则
?LPdx?Qdy在D内与路径无关的充分必要条件是在D内恒有( ).
(A)(C)?Q?x?P?x???P?y?Q?y?0; (B)?0; (D)?Q?x?P?x??P?y?y?0; ?0. 答(B).
??Q5. 设L为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则??xdy?ydxx?4y22L?( ).
(A)4?; (B)?; (C)2?; (D)0. 答(D).
6. 设L为一条包含原点在内的简单闭曲线,则I??Q?x?P?y??xdy?ydxx?4y22L?( ).
(A)因为
?,所以I?0; (B)因为
?Q?x??P?y?Q?P不连续,所以I不存在; ,?x?y(C)2?; (D)因为,所以沿不同的L,I的值不同. 答(C).
7. 表达式P(x,y)dx?Q(x,y)dy为某函数U(x,y)的全微分的充分心要条件是( ).
(A)(C)?P?x?P?x??Q?y?y?P?y?P?y?Q?x; (B); (D)?;
. 答(D).
???Q???Q?x8. 已知
(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数U(x,y)的全微分,则a?( ).
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(A)0; (B)2; (C)?1; (D)1. 答(B).
9. 设L是从点A(1,1)到点B(2,3)的直线段, 则?(x?3y)dx?(y?3x)dy?( ).
L(A)(C)??2121(x?3)dx?(3x?1)dx???31(y?6)dy; (B)3?21[(x?6x)?(2x?3x)]dx;
21(y?3?y?12)dy; (D)?1[(3x?1)?(5x?1)]dx.
答(A).
10*. 设f(x)连续可导,且f(0)?1,曲线积分
I????(,)43(0,0)yf(x)tanxdx?f(x)dy与路径无关,则f(x)?( ).
(A)1?cosx; (B)1?cosx; (C)cosx; (D)sinx. 答(C).
二、填空题
1. 设区域D的边界为L,方向为正向, D的面积为?. 则??xdy?ydx?L.
答: 2?.
2. 设f(x,y)在D:x24?y?1上具有二阶连续偏导数, L是D的边界正向,
2则??fy(x,y)dy?[3y?fx(x,y)]dx?L.
答: 6?.
3. 设L是圆周x2?y2?9,方向为逆时针,
2则??(2xy?y)dx?(x?4x)dy?L.
答: ?27?.
4. 设L为闭曲线x?y?2方向为逆时针,a,b为常数, 则??axdy?bydxx?yL=.
答: 4(a?b).
5. 设ABCDA为以点A(1,0),B(0,1),C(?1,0),D(0,?1)为顶点的正方形逆时针方向一周,则??dx?dyx?yL=.
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答: 0.
6. 设L为圆周x2?y2?1上从A(1,0)到B(0,1)再到C(?1,0)的曲线段,则
?Ledy?y2.
答: 0. 7.
?(2,2)(0,0)2xydx?(x?3)dy?2.
答: 2.
8. 设L为直线y?x从O(0,0)到A(2,2)的一段, 则?eydx?2xyeydy?L22.
答: 2e4.
9*. 设L为抛物线上一段弧,试将积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy化为对弧长
L的曲线积分,其中P(x,y),Q(x,y)在L上连续.
答:
?P?2xQL1?4x2ds.
10*. 设f(x)连续可导,且f(0)?0,曲线积分
?L[f(x)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,则f(x)=
x.
答:
e?e2x?x.
三、解答题
1. 计算??答:??.
2. 计算?y，其中L是顶点分别为(0,0)、?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dLydx?xdy2(x?y)22L，其中L为圆周(x?1)2?y2?2的正向.
(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.
答:12. 3. 计算
?L(2xy?ycosx)dx?32(1?2ysixn?2x3y2,)y其d中L为抛物线
???22x??y上由点(0,0)到?,1?的一段弧.
?2?高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 9 页 学院 专业
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答:
?24.
4. 计算
?L(x?y)dx?(x?siny)dy，其中L是圆周y?2222x?x上由
(0,0到)(1,1)的一段弧.
答:?76?sin24.
5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) 答:(2)
?52(2,3)(1,1)(x?y)dx?(x?y)dy.
.
(2,1)(1,0)?(2xy?y?3)dx?(x?4xy)dy.
423答: 5.
6. 验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某函数u(x,y)的全微分,并求函数u(x,y).
(1) (x?2y)dx?(2x?y)dy. (2) 2xydx?x2dy.
(3) (2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy. 答: (1)
x22?2xy?y22L; (2) x2y ; (3)x2cosy?y2sinx.
2237. 用格林公式计算?(x?xy)dx?(xy?y?2)dy，其中L是圆周
y?22x?x上由A(2,0)到O(0,0)的一段弧.
答:??2.
44238. 用格林公式计算?(2xy?y?3)dx?(x?x?4xy)dy，其中L是圆周
L3y?1?x上由A(1,0)到B(?1,0)的一段弧.
2答:
?2?6.
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§10．4 对面积的曲面积分
一、选择题
1. 设?是xoy平面上的一个有界闭区域Dxy,则曲面积分??f(x,y,z)dS与
?二重积分??f(x,y)dxdy的关系是 ( ).
Dxy(A)(C)???f(x,y,0)dS=
??Dxyf(x,y)dxdy;(B)????f(x,y,0)dS=???f(x,y)dxdy;
Dxy???f(x,y,0)dS???Dxyf(x,y)dxdy;(D)??f(x,y,0)dS???Dxyf(x,y)dxdy.
答(A).
2. 设?是抛物面z?x2?y2(0?z?4),则下列各式正确的是( ).
(A)???f(x,y,z)dS=
2??2f(x,y,x?y)dxdy;
22x?y?4(B)???f(x,y,z)dS=
2??2f(x,y,x?y)1?4xdxdy;
222x?y?4(C)???f(x,y,z)dS?2??2f(x,y,x?y)1?4ydxdy;
222x?y?4(D)???f(x,y,z)dS?2??2f(x,y,x?y)1?4x?4ydxdy. 答(D).
2222x?y?43.设?:x2?y2?z2?a2(z?0),?1是?在第一卦限中的部分,则有( ).
(A)(C)??xdS??4??xdS; (B)??ydS?4??xdS;
?1??1??zdS??4??zdS; (D)??xydzS?4???1??122xydz. S答(C).
4. 设?是锥面z?(A)x?y(0?z?1),则??(x?y)dS?( ).
?22??(x?y)dS??22?2?0d??r?rdr;
012(B)??(x?2?y)dS?2??0d??r?rdr;
012