高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 16 页 学院 专业
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化成对面积的曲面积分,其中:
(1) ?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限部分的上侧. (2) ?是抛物面z?8?(x2?y2)在xoy面上方部分的上侧.
?3223?P?Q?R?dS; (2) ????5?55???2xP?2yQ?R1?4x?4y22答: (1)
???dS.
§10．6 高斯公式
一、选择题
1. 设空间闭区域?的边界是分片光滑的闭曲面?围成, ?取外侧，则?的体积V?( ).
(A)
1313????ydydz?zdzdx?xdxdy; (B)13???xdydz??ydzd?xdz; dxy(C)????zdydz?zdzdx?ydxdy; (D)
13???xdydz?zdzdx??ydxdy.答(B).
2.设?是长方体?:?(x,y,z)0?x?a,0?y?b,0?z?c,?的整个表面的外
222侧,则???xdydz?ydzdx?zdxdy?( ).
?(A) abc; (B)abc; (C)abc; (D) (a?b?c)abc. 答(D).
2223. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A)
??P?Q?R??????x??y??z?dxdydz???????(Pcos???Qcos??Rcos?)dS;
(B)????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???P?Q?R??????x??y??z?dxdydz;
?????R?Q?P??????x??y??z?dxdydz;
???(C)????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(D)???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos????Qcos??Rcos?)dS.答(C).
4. 若?是空间区域?的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).
高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 17 页 学院 专业
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(A) (B)(C) (D)
???x??2dydz?(z?2y)dxdy?3???(2x?2)dxdydz;
????(x??????yz)dydz?2xydzdx?zdxdy????(3x?2?2x?1)dxdydz;
xdydz?(z?2y)dzdx?22???(2x?1)dxdydz;
????xdxdy?(z?2y)dydz????(2x?2)dxdydz. 答(B).
?二、填空题
1. 设?是球面x2?y2?z2?a2外侧, 则???zdxdy??.
答:
433?a.
333xdydz?ydzdx?zdxdy?2. 设?是球面x2?y2?z2?a2外侧, 则????.
答:
255?a.
3. 设?是长方体?:?(x,y,z)0?x?a,0?y?b,0?z?c?,的整个表面的外侧,则???xdydz?ydzdx?zdxdy??.
答: 3abc.
4. 设?是长方体?:?(x,y,z)0?x?a,0?y?b,0?z?c?,的整个表面的
222外侧,则???xdydz?ydzdx?zdxdy??.
答: (a?b?c)abc.
5. 向量A?yzi?zxj?xyk穿过圆柱x2?y2?a2(0?z?h)全表面?流向外侧的通量??答: 0.
????26.向量A?(2x?3z)i?(xz?y)j?(y?2z)k穿过球面 (x?3)?(y?1)?(z?2)?9?流向外侧的通量??222????.
.
答: 108?.
高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 18 页 学院 专业
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三、解答题
2221. 计算???xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为平面x?0,y?0,z?0及
?x?a,y?a,z?a所围成的立体的表面外侧.
答: 3a4.
33322222. 计算???xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x?y?z?a外侧.
? 答:
255?a.
22323. 计算???xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxd,y其中?为上半球体
?x?y?a,0?z?222a?x?y的表面外侧.
222 答:
255?a.
4. 计算???xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?是界于z?0和z?3之间的圆柱
?体x2?y2?3的整个表面外侧. 答: 81?.
25. 计算???4xzdydz?ydzdx?yzdxdy,其中?是平面x?0,y?0,z?0与
?平面x?1,y?1,z?1所围成的立方体的全表面外侧. 答:
32.
z222226. 计算???xdydz?(z?2xy)dzdx??dxdy,其中?为曲面z?x?y与平
面z?1所围成的立体的表面外侧. 答:
?4.
7. 计算曲面积分
22????xdydz?(y?2)dzdx?(z?x)dxdy,其中?为曲面
3333z?x?y与球面z?3254?x?y所围成的立体的表面外侧.
22 答: 6???(1?cos2).
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8. 计算曲面积分
???xy?2dydz?zdzdx?z(x?1)dxdy,其中?为由曲面
22z?224?x?y与平面z?0所围成的空间区域的整个边界表面外侧.
答: 2??3221616?????. 53359*.用Gauss公式计算曲面积分??(z2?x)dydz?zdxdy,其中?是旋转抛
?物面z?12(x?y)介于平面z?0及z?2之间部分的下侧.
22 答: 8?.
§10．7 斯托克斯公式
一、选择题
1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
dydzdzdx??yQcos???yQdxdy??zRcos???zRdS;
(A)
???Pdx?Qdy?Rdz??????xPcos?;
(B)
???Pdx?Qdy?Rdz??????xP?i?j??yQ?j??yQ?k??zR?k??zR??dx,dy,dz?. 答(D). ??cos?,cos?,cos??dS;
(C)???Pdx?Qdy?Rdz??????xP?i(D)???Pdx?Qdy?Rdz??????xP2. 设?是从点(a,0,0)到点(0,a,0)再到(0,0,a)最后回到(a,0,0)的三角形边界(a?0),则??(z?y)dx?(x?z)dy?(y?x)dz?( ).
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2222(A) 3a; (B)6a; (C)2a; (D) a. 答(A).
3. 设?为圆周x2?y2?z2?9,z?0,若从z轴正向看去, ?为逆时针方向.
2则??2ydx?3xdy?zdz?( ).
?(A) ?; (B)6?; 9?; (D) 0. 答(C).
二、填空题
1. 设?为圆周x2?y2?z2?a2,z?0,若从z轴正向看去, ?为逆时针方
2向.?2ydx?2xdy?zdz???.
答: 0.
2. 设u?xy?yz?zx?xyz, 则(1)gradu?
.
答: ?y?z?yz,z?x?xz,x?y?xy?
(2) div(gradu)? 答: 0.
(3) rot(gradu)?
?答: 0.
?????3. 设向量场A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k,则rotA????答: 2i?4j?6k.
????224. 设向量场A?xsinyi?ysin(xz)j?xysin(cosz)k,
.
.
.
?则rotA?2.
???22答: [xsin(cosz)?xycos(xz)]i?ysin(cosz)j?[yzcos(xz)?xcosy]k.
三、解答题
2222x?y?z?a,x?y?z?0,若?1. 计算?,其中为圆周ydx?zdy?xdz??高等数学 第十章 曲线曲面积分 第 21 页 学院 专业
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从z轴正向看去, ?为逆时针方向.
答: ?3?a2.
2222*. 计算?,其中为椭圆, x?y?a?(yz)dx?(z?x)dy?(x?y)dz??xa?yb?1(a?0,b?0),若从x轴正向看去, ?为逆时针方向.
答: ?aa2?b2. 2223. 计算?,其中为圆周x?y?2z,z?2,若从z轴?3ydx?xzdy?yzdz??正向看去, ?为逆时针方向.
答: ?20?.
22224. 计算?,其中为圆周x?y?z?9,z?0,若从z?2ydx?3xdy?zdz??轴正向看去, ?为逆时针方向. 答: 9?.
?5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分??rotA?ndS化为曲线积分,并计算积分值,其中A、?及n分别如下:
????2(1) A?yi?xyj?xzk,?为上半球面z??221?x?y的上侧, n是?的
????单位法向量.
????(2) A?(y?z)i?yzj?xzk,?为?(x,y,z)0?x?2,0?y?2,0?z?2?的
表面外侧去掉xoy平面上的那个底面,, n是?的单位法向量.
答: (1) 0. (2) ?4.
?