立体几何中几类典型问题的向量解法
空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离
（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：
????求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐
?????n?MP?????????标，那么P到平面的距离d?MP?cos?n,MP???
n???? （2）求两点P,Q之间距离，可转化求向量PQ的模。
????????????????????
（3）求点P到直线AB的距离，可在AB上取一点Q，令AQ??QB,PQ?AB或PQ????
的最小值求得参数?，以确定Q的位置，则PQ为点P到直线AB的距离。还可以在AB上????
任取一点Q先求cos?PQ,AB?，再转化为sin?PQ,AB?，则PQsin?PQ,AB?为
点P到直线AB的距离。
?(4)求两条异面直线l1,l2之间距离，可设与公垂线段AB平行的向量n，C,D分别是l1,l2上
?????CD?n的任意两点，则l1,l2之间距离AB? ?n例1：设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(?5,?4,8)，求点D到平面ABC的距离
例2：如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM?BN?a(0?a?2)。
（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小； z （Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角?的大小 C
D
y
B M
A(O) E N F x 例3：正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为1，求异面直线AC11与AB1间的距离
z D1M C1B1N A1D A x C B y
例4：如图，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AB?4,BC?3,CC1?2,求平面A1BC1与平面ACD1的距离。
D1 z C1 B1 y
A1 D C x A B ?点评：若n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线段，且B??，则点A到平面?的
?????AB?n距离d??，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射
n影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
C,D是直线l2上的任意两点，（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，则l1,l2????????AB?CD所成的角为arccos????????
AB?CD （2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与
????????AB?BC?平面?所成的角为arccos????????。设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，
AB?BC??????????AB?nAB?n?则AB与平面?所成的角为?arccos?????，或者arcsin?????。
2AB?nAB?n???????????????n?n2（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccos??1???就是
n1?n2二面角的平面角或补角的大小。
例5：在棱长为a的正方体ABCD?ABCD中，EF分别是BC,A'D'的中点， （1）求直线AC与DE所成角；
（2）求直线AD与平面BEDF所成的角， （3）求平面BEDF与平面ABCD所成的角
'''''''z A' B' F D' C' y G A
D
B E C x
例6：如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF?平面PAB；
z （Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小.
P x C F E D
A B y
例7：如图，PA?平面ABC，
P AC?BC,PA?AC?1,BC?2，求二面角A?PB?C的大小。
E x A D z
C B y 点评：如果AB,CD分别是二面角??l??两个面内的两条直线，且A?l,C?l,
????????AB?l,CD?l，则二面角的大小为?AB,CD?
例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD?1．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
2z
S y B A D
点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，
C x ?????（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量?????n1与n2的夹角的大小。
?????（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量?????????n1与n2的夹角的补角???n1,n2?。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB?5,点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：A1C //平面CDB1；
点评：平行问题的转化：
面面平行转化 线面平行转化 线线平行；
例10．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
D1A1DAEBB1C1?. 4C例11．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3,BC?4,AB?5,AA1?4 （1）求证AC?BC1;（2）在AB上是否存在点D使得AC1?CD? （3）在AB上是否存在点D使得AC1//平面CDB1
A
C1B1C B
A1D
五、专题突破：
1、如图：已知二面角??l??的大小为120，点A??,B??,AC?l于点C，
?BD?l于D，且AC?CD?DB?1，求 （1）直线AB与CD所成角的大小，（2）直线AB与CD的距离。
A lD B
C
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论； （Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小.
3、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA1=6,M为侧棱CC1上一点, AM?BA1． （1）求证: AM?平面A1BC； （2）求二面角B－AM－C的大小； （3）求点C到平面ABM的距离．
AM CB
C A B
4、如图，ABCD?A1BC11D1是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点。
（Ⅰ）求证：BD1//平面C1DE； （Ⅱ）求二面角C1?DE?C的大小
（Ⅲ）在侧棱BB1上是否存在点P,使得CP?平面C1DE？证明你的结论。