5、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1⊥BC1；
（II）求点B到平面AB1C1的距离. （III）求二面角C1—AB1—A1的大小
6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
P
D
A B
Q 图4
7、（2006年全国卷II）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小． C1
E
C
B1 A1
D B A C 参考答案：
???????????例1：解：设平面ABC的法向量n?(x,y,z),?n?AB?0,n?AC?0，所以
3??(x,y,z)?(2,?2,1)?0?2x?2y?z?0?x??z??，?2 ?4x?6z?0(x,y,z)?(4,0,6)?0????y??z??????z??2,则n?(3,2,?2)，?cos?n,AD??3?(?7)?2?(?7)?2?73?2?(?2)?(?7)?(?7)?7222222
???????????494917所以设D到平面ABC的距离为d，d?AD?cos?n,AD?? ?1717例2：
解：建立如图所示空间直角坐标系O?xyz.
?????a????2?aF(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),AM?(1?)AC?(0,1,1),
22????a?????????a????1a???BN?BF,AN?(1?)AB?AF?(a,2?a,0)
2222??????????????1?????221MN?AN?AM?(a,0,a?2)?MN?(a?)?(0?a2)
222??????2????2221,MN?(2)由MN?(a? )?得a?min2222????1????1?12????,MN?(1,0?1),又MA?(0,?1,?1),MB?(0,1,?1)所以可求得平面（3）?a?2222?????MNA与平面MNB的法向量分别为n1?(?1,1,?1),n2?(1,1,1)，所以
??????cos?n1,n2??1?11??，所以????arccos
333?3例3：解：如图建立坐标系，则A(1,0,0),A,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1) 1(1z D?????????1MN，设是直线与的公垂线，且 ACAB?AB1?(0,1,1),AC?(?1,1,0)11111A1??????????????????AN??AB1?(0,?,?),AM?uAC111?(?u,u,0)
M C1B1N C B y
??????????????????D 则MN?MA)?(0,?,?)?(u,??u,??1) 1?AA1?AN??(?u,u,0)?(0,0,1A x 2?????????????????????????2u?01113?MN?AC?3????11?0,??， MN?(?,,)?MN?????????????3333?2??u??1?u??1??MN?AB1?0?3?例4：
解：?BC1//AD1,AD1?平面ACD1,?BC1//平面ACD1，同理A1B//平面ACD1,又
A1B?BC1?B,?平面A1BC1//平面ACD1，建立直角坐标系D?xyz，?AB?4,BC?3,CC1?2，A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2)
???????????A1B?(0,4,?2),BC1?(?3,0,2),设n?(x,y,z)为平面A1BC1的法 D z 1??????????向量，则n?AB1?n?AB1?0,?4y?2z?0,
A1 ????????????由n?BC1?n?BC1?0??3x?2z?0，
D C1 B1 y C 12?21不妨设z?1,?y?,x?,?n?(,,1)
2332二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
例5：
'x A B 解：（1）如图建立坐标系，则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,????????a'?AC?(a,a,?a),DE?(a,?,0)，
2????????'????????AC?DE15' ?cos?AC,DE???????????'15AC?DE故AC与DE所成的角为arccos'a,0) 215 15'（2）??ADE??ADF,所以AD在平面BEDF内的射影在?EDF的平分线上，又
B'EDF为菱形，?DB'为?EDF的平分线，故直线AD与平面B'EDF所成的角为
'?ADB'，建立如图所示坐标系，则A(0,0B,0a),a(D,0，,a),???????????????????????????DA?DB'3'' ?DA?(0,?a,0),DB?(a,?a,a)，?cos?DA,DB????????????'3DA?DB(0,,故AD与平面BEDF所成角为arccos'3 3a,0)所以平面ABCD的法向量为2???????''F法向量，设n?(1,y,z)，由m?AA?(0,0,a)下面求平面BED的
???????????????aa?n?ED?0?y?2'ED?(?a,,EB0)?,?a(0,??,????)，?，?n?(1,2,1) ??'22z?1??n?EB?0???????m?n66'，所以平面BEDF与平面ABCD所成的角arccos ?cos?n,m??????66m?n由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,''点评：（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意两点，
????????AB?CD则l1,l2所成的角为arccos????????
AB?CD （2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与
????????AB?BC平面?所成的角为arccos????????。
AB?BC???????????????n?n2（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccos??1???就是
n1?n2二面角的平面角或补角的大小。 例6：
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a（a?0），则E(a,0,0),
????????1111,).得EF?(0,,)，PB?(2a,1,?1)，2222????????????????????11AB?(2a,0,0). 由EF?AB?(0,,)?(2a,0,0)?0，得EF?AB，即EF?AB，
22 同理EF?PB，又AB?PB?B， 所以，EF?平面PAB.
C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F(a,（Ⅱ）解：由AB?2BC，得2a?2，即a?2. 2得E(2211,0,0)，F(,,)，C(2,0,0). 2222z P x C F E A y ????????????112,?1,0)，EF?(0,,). 有AC?(2,?1,0)，AE?(222 设平面AEF的法向量为n?(x,y,1)，
D B 111??1????(x,y,1)?(0,,)?0y??0???n?EF?0222???2由????， ???????(x,y,1)?(2,?1,0)?0?2x?y?0?n?AE?0???2?2??y??1解得?. 于是n?(?2,?1,1).
x??2?????????? 设AC与面AEF所成的角为?，AC与n的夹角为?AC,n?.
????(2,?1,0)?(?2,?1,1)AC?n????3 则sin??cos?AC,n?????. ???62?1?02?1?1AC?n得??arcsin3. 63. 6所以，AC与平面AEF所成角的大小为arcsin?点评：设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，则AB与平面?所成的角为
??????????AB?nAB?n??arccos?????，或者arcsin?????。 2AB?nAB?n例7： 解：建立如图所示空间直角坐标系C?xyz，取PB的中点D，连DC,可证DC?PB，
????????作AE?PB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角A?PB?C的大小。
?A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点，
PEAP21121??， ?(,,)，在Rt?PAB中，
EBAB23222x P z
E D A C ?????11323???23?E分PB的比为，?E(,,)?EA?(,?,?)
3444444????????????1????1213DC?(?,?,?)，EA?DC?,EA?，
22222B y 1????????????33，?二面角A?PC?C的大小为arccos DC?1,cos?EA,DC??2?333?12例8：