高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
x?z?1?z?xyxy?1?1xylnx?xy?xy?2z?
y?xlnx?yylnx 例4 求r?x2?y2?z2的偏导数? 解
yy?r?x?x? ?r??? ?xx2?y2?z2r?yx2?y2?z2r 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)? ?求证?
?p?V?T????1? ?V?T?pRT? ?p??RT? ?
?VV2VRT?V?R V?? ?
p?TppV?TV?? T?? ?pRR 证 因为p?所以
?p?V?TR?V??RT??1?
????RT??V?T?ppVV2pR 例5 说明的问题? 偏导数的记号是一个整体记号? 不能看作分子分母之商? 二元函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的偏导数的几何意义? ?
fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截线z?f(x? y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率? fy(x0? y0) ?[f(x0? y)]y?是截线z?f(x0? y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率?
偏导数与连续性? 对于多元函数来说? 即使各偏导数在某点都存在? 也不能保证函数在该点连续? 例如
?xy x2?y2?0? f(x,y)??x2?y2
?x2?y2?0?0 在点(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函数在点(0? 0)并不连续? 提示?
f(x, 0)?0? f(0, y)?0? fx(0, 0)?
d[f(x, 0)]?0? f(0, 0)?d[f(0, y)]?0?
ydydx高等数学课程建设组
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当点P(x? y)沿x轴趋于点(0? 0)时? 有
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?
x?0x?0 当点P(x? y)沿直线y?kx趋于点(0? 0)时? 有
2xykxk? ?
?lim?
(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2lim y?kx因此?
(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在? 故函数f(x? y)在(0? 0)处不连续?
类似地? 可定义函数z?f(x? y)对y的偏导函数? 记为
?z?f? ? zy ? 或fy(x,y)? ?y?y?y?0偏导函数的定义式? fy(x,y)?lim 二? 高阶偏导数
f(x,y??y)?f(x,y)?
?y 设函数z?f(x? y)在区域D内具有偏导数
?z?f(x,y)? ?z?f(x,y)?
?yy?xx那么在D内fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函数? 如果这两个函数的偏导数也存在? 则称它们是函数z?f(x? y)的二偏导数? 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z?f(x? y)在区域D内的偏导数fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏导数? 则它们的偏导数称为函数z?f(x? y)的二阶偏导数? 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数
?(?z)??2z?f(x,y)?(?z)??2z?f(x,y) ? ?
?x?x?x2xx?y?x?x?yxy
?(?z)??2z?f(x,y)? ?(?z)??2z?f(x,y)?
yy?x?y?y?xyx?y?y?y2?(?z)??2z?f(x,y)?(?z)??2z?f(x,y)其中? 称为混合偏导数? ?
?y?x?x?yxy?x?y?y?xyx 高等数学课程建设组
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?(?z)??2z?(?z)??2z?(?z)??2z? ?(?z)??2z? ?
? ?
?x?x?x2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y2 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数? ? 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数?
22?2z?3z?z?z?
例6 设z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和
?y?x?x?y?x?x32
3
解
?z?3x2y2?3y3?y? ?z?2x3y?9xy2?x?
?y?x?2z?6xy2?3z?6y2 ? ?
?x3?x222?z?z?6x2y?9y2?1? ?22?6xy?9y?1?
?x?y?y?x
22?z??z 由例6观察到的问题?
?y?x?x?y 定理 如果函数z?f(x? y)的两个二阶混合偏导数域内这两个二阶混合偏导数必相等?
类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数?
?2z及?2z在区域D内连续? 那么在该区?y?x?x?y22?z?z 例7 验证函数z?lnx?y满足方程2?2?0? ?x?y22 证 因为z?lnx2?y2?ln(x2?y2)? 所以
12?z?x? ?z?y? ?xx2?y2?yx2?y22(x2?y2)?x?2xy2?x2?z ??222? ?x2(x2?y2)2(x?y) 高等数学课程建设组
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2(x2?y2)?y?2yx2?y2?z ??222?
?y2(x2?y2)2(x?y)22x2?y2y2?x2?z?z因此 2?2?2??0? ?x?y(x?y2)2(x2?y2)2222?u?u?u1 例8．证明函数u?满足方程2?2?2?0?
r?x?y?z其中r?x2?y2?z2?
?u??1??r??1?x??x?
?xr2?xr2rr3?2u??1?3x??r??1?3x2 ?
?x2r3r4?xr3r5 证?
23y2?2u??1?3z2?u1同理 ? ? ???235235?zrr?yrr222223y2?u?u?u13x113z因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5) ?x?y?zrrrrrr23(x2?y2?z2)333r??3?5?0? ??3?rr5rrr3?x??(r3)r3?x?3r2?r2?u??(?x)???x?x? ??提示? 2366?x?xrrr
§8? 3全微分及其应用 一、全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系??有 偏增量与偏微分?
f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?
f(x??x? y)?f(x? y)为函数对x的偏增量? f x(x? y)?x为函数对x的偏微分? f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??
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f(x? y??y)?f(x? y)为函数)对y的偏增量? f y(x? y)?y为函数对y的偏微分? 全增量? ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?
计算全增量比较复杂? 我们希望用?x、?y的线性函数来近似代替之? 定义 如果函数z?f(x? y)在点(x? y)的全增量 ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y) 可表示为
?z?A?x?B?y?o(?) (??(?x)2?(?y)2 )?
其中A、B不依赖于?x、?y 而仅与x、y 有关? 则称函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 而称A?x?B?y为函数z?f(x? y)在点(x? y)的全微分? 记作dz? 即 dz?A?x?B?y?
如果函数在区域D内各点处都可微分? 那么称这函数在D内可微分? 可微与连续? 可微必连续? 但偏导数存在不一定连续? 这是因为?? 如果z?f(x? y)在点(x? y)可微??则 ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??于是 lim?z?0?
??0从而
(?x,?y)?(0,0)limf(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??
??0因此函数z?f(x? y)在点(x? y)处连续?? 可微条件? 定理1(必要条件)
如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 则函数在该点的偏导数y)在点(x? y)的全微分为 dz??z、?z必定存在? 且函数z?f(x?
?x?y?z?x??z?y?
?x?y 证 设函数z?f(x? y)在点P(x? y)可微分? 于是? 对于点P的某个邻域内的任意一点P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特别当?y?0时有 f (x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)? 上式两边各除以?x? 再令?x?0而取极限? 就得
f(x??x,y)?f(x,y)?A?
?x?x?0?z存在? 且?z?A??同理可证偏导数?z存在? 且?z?B? 所以
从而偏导数
?y?y?x?x lim
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