高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
dz??z?x??z?y?
?x?y 简要证明??设函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 于是有?z?A?x?B?y?o(?)? 特别当?y?0时有 f (x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)? 上式两边各除以?x? 再令?x?0而取极限? 就得
f(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim[A?]?A?
?x?x?x?0?x?0?z存在? 且?z?A??同理?z存在? 且?z?B? 所以dz??z?x??z?y? 从而
?x?y?y?y?x?x?z、?z存在是可微分的必要条件? 但不是充分条件??
偏导数
?x?y lim 例如???
?xy x2?y2?0? 函数f(x,y)??x2?y2在点(0??0)处虽然有f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0??但函数在
?0 x2?y2?0?(0??0)不可微分??即?z?[fx(0? 0)?x?fy(0? 0)?y]不是较?高阶的无穷小?? 这是因为当(?x? ?y)沿直线y?x趋于(0? 0)时??
定理2(充分条件) 如果函数z?f(x? y)的偏导数
?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]???x??y?x??x?1?0??
?(?x)2?(?y)2(?x)2?(?x)22?z、?z在点(x? y)连续? 则函数在该点可微分? ?x?y 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数?
按着习惯???x、?y分别记作dx、dy? 并分别称为自变量的微分??则函数z?f(x? y)的全微分可写作?
dz??zdx??zdy? ?x?y 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理? 叠加原理也适用于二元以上的函数? 例如函数u?f (x? y? z) 的全微分为 du??udx??udy??udz?
?x?y?z 例1 计算函数z?x2y ?y2的全微分?
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解 因为
?z?2xy? ?z?x2?2y?
?y?x所以dz?2xydx?(x2?2y)dy ?
例2 计算函数z?exy在点(2? 1)处的全微分? 解 因为
?z?yexy? ?z?xexy? ?y?x?z?z22x?2?e? x?2?2e?? ?xy?1?yy?1
所以 dz?e2dx?2e2dy ? 例3 计算函数u?x?sin 解 因为
yyz?e的全微分? 2?u?1? ?u?1cosy?zeyz? ?u?yeyz?
?y22?z?x12y2所以 du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz? *二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数z?f (x? y)在点P (x? y)的两个偏导数f x (x? y) ? f y (x? y)连续? 并且|?x|? |?y|都较小时? 有近似等式
?z ?dz? f x (x? y)?x?f y (x? y)?y ?
即 f (x??x? y??y) ? f(x? y)?f x (x? y)?x?f y (x? y)?y ? 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算?
例4 有一圆柱体? 受压后发生形变? 它的半径由20cm增大到20? 05cm? 高度由100cu减少到99cm? 求此圆柱体体积变化的近似值?
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V? 则有 V?? r 2h ?
已知r?20? h?100? ?r?0? 05? ?h??1? 根据近似公式? 有 ?V?dV?Vr?r?Vh?h?2?rh?r??r2?h
?2??20?100?0? 05???202?(?1)??200? (cm3)? 即此圆柱体在受压后体积约减少了200? cm3? 例5 计算(1? 04)2??02的近似值?
解 设函数f (x? y)?x y ? 显然? 要计算的值就是函数在x?1?04? y?2?02时的函数值f(1?04? 2?02)? 取x?1? y?2? ?x?0?04? ?y?0?02? 由于
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f (x??x? y??y)? f(x? y)?f x(x? y)?x?f y(x? y)?y
?x y?yxy?1?x?x yln x ?y ?
所以
(1?04)2??02?12?2?12?1?0?04?12?ln1?0?02?1?08?
例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是
24?l g?2?
T现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.?问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？
解 如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是
24?l二元函数g?2的全增量的绝对值|Δg|.?由于|Δl|??|ΔT|都很小??因此我们可以用dg来近似地代替
TΔg??这样就得到g的误差为
?g?g?l??T| ?l?T?g?g|?? ?||??l?|?l?TT12l ?4?2(2?l?3?T)? TT |?g|?|dg|?|其中?l与?T为l与T的绝对误差? 把l=100? T=2, ?l=0.1, δT=0.004代入上式? 得g的绝对误差约为
1?2?100?0.004?g?4?2(0.2) 322 ?0.5?2?4.93(cm/s2).
20.5??2?0.500??
g4??10022?g???从上面的例子可以看到??对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为?x、
?y, 即
|Δx |??x, |Δy |??y, 则z的误差
?z?x??z?y|
?x?y?z?z ?||?|?x|?||?|?y|
?x?y |?z|?|dz|?|
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?|从而得到z的绝对误差约为
?z|???|?z|???
?xx?yy?z|???|?z|??? ?xx?yy ?z?|z的相对误差约为
?z?z??y z??x?x???
|z|zzy
§8? 4 多元复合函数的求导法则
dz？
dt?z和?z？
设z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求
?x?y 设z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求 1? 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数u??(t)及v??(t)都在点t可导? 函数z?f(u? v)在对应点(u? v)具有连续偏导数? 则复合函数z?f[?(t)? ?(t)]在点t可导? 且有
dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdt 简要证明1? 因为z?f(u? v)具有连续的偏导数? 所以它是可微的? 即有 dz??zdu??zdv? ?u?v又因为u??(t)及v??(t)都可导? 因而可微? 即有 du?代入上式得
dudt? dv?dvdt? dtdt?z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt? ?udt?vdt?udt?vdtdz??z?du??z?dv?
从而
dt?udt?vdt dz? 简要证明2? 当t取得增量?t时? u、v及z相应地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有 ?z?
?z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)
?u?v?udt?vdt高等数学课程建设组
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?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?
?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?) ?
?t?udt?vdt?u?v?t?t ?(令?t?0? 上式两边取极限? 即得
dz??z?du??z?dv? dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?
?tdtdt?t?0?t?t?0?推广? 设z?f (u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 则z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]对t 的导数为? 上述
2? 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数u??(x? y)? v??(x? y)都在点(x? y)具有对x及y的偏导数? 函数z?f(u? v)在对应点(u? v)具有连续偏导数? 则复合函数z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在点(x? y)的两个偏导数存在? 且有
dz??zdu??zdv??zdw?
dt?udt?vdt?wdtdz称为全导数? dt?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z??z??u??z??v??z??w? ?z??z??u??z??v??z??w? ?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y 推广? 设z?f(u? v? w )? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 则
讨论?
?z?？?z?？
?y?x?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?
提示?
?x?u?x?y?u?y?vdy?z?？?z?？
(2)设z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 则
?y?x?z??f?u??f? ?z??f?u??f?
提示?
?x?u?x?x?y?u?y?y?z与?f是不同的? ?z是把复合函数z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不变而对x的偏导数? ?f这里
?x?x?x?x?z?f是把f(u? x? y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数? 与也朋类似的区别?
?y?y (1)设z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 则
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