高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?
这向量称为函数f(x? y)在点P0(x0? y0)的梯度? 记作grad f(x0? y0)? 即 grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j? 梯度与方向导数? ?
如果函数f(x? y)在点P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是与方向l同方向的单位向量? 则
?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??
? grad f(x0? y0)?el
?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?
这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系? 特别? 当向量el与grad f(x0? y0)的夹角??0? 即沿梯度方向时? 方向导数
?f?l取得最大值? 这个最大值就是梯度
(x0,y0)的模|grad f(x0? y0)|? 这就是说? 函数在一点的梯度是个向量? 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向? 它的模就等于方向导数的最大值? 讨论?
?f的最大值? ??l 结论? 函数在某点的梯度是这样一个向量? 它的方向与取得最大方向导数的方向一致? 而它的模为方向导数的最大值?
我们知道? 一般说来二元函数z?f(x? y)在几何上表示一个曲面? 这曲面被平面z?c(c是常数)所截得的曲线L的方程为 ??z?f(x,y)?
z?c?这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*? 它在xOy平面上的方程为 f(x? y)?c?
对于曲线L*上的一切点? 已给函数的函数值都是c? 所以我们称平面曲线L*为函数z?f (x? y)的等值线?
若f x? f y不同时为零? 则等值线f(x? y)?c上任一点P0(x0? y0)处的一个单位法向量为 n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?
22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0? y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同? 而沿这个方向的方向导数
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?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?f gradf(x0,y0)?n?
?n 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系? 这说是说? 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同? 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线? 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数?
梯度概念可以推广到三元函数的情形? 设函数f(x? y? z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数? 则对于每一点P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一个向量 fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?
这向量称为函数f(x? y? z)在点P0(x0? y0? z0)的梯度? 记为grad f(x0? y0? z0)? 即 grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?
结论? 三元函数的梯度也是这样一个向量? 它的方向与取得最大方向导数的方向一致? 而它的模为方向导数的最大值? 如果引进曲面 f(x? y? z)?c
为函数的等量面的概念? 则可得函数f(x? y? z)在点P0(x0? y0? z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x? y? z)?c在这点的法线的一个方向相同? 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面? 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数?
1? x?y21?
解 这里f(x,y)?2x?y2 例3 求grad 2 因为
?f?f2y??22x22? ??222? ?x?y(x?y)(x?y)2y12x??i?j?
x2?y2(x2?y2)2(x2?y2)2所以 grad 例4 设f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)? 解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)? 于是 grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?
数量场与向量场? 如果对于空间区域G内的任一点M? 都有一个确定的数量f(M)? 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)? 一个数量场可用一个数量函数f(M)来
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确定? 如果与点M相对应的是一个向量F(M)? 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力
?场、速度场等)? 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定? 而 F (M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k? 其中P(M)? Q(M)? R(M)是点M的数量函数?
利用场的概念? 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场? 它是由数量场f(M)产生的? 通常称函数f(M)为这个向量场的势? 而这个向量场又称为势场? 必须注意? 任意一个向量场不一定是势场? 因为它不一定是某个数量函数的梯度场?? 例5 试求数量场
m所产生的梯度场? 其中常数m>0? rr?x2?y2?z2为原点O与点M(x? y? z)间的距离? ?(m)??m?r??mx? ?xrr2?xr3?(m)??my? ?m同理 ? ()??mz3?yrr?zrr3mmxyz从而 grad??2(i?j?k)? rrrrr 解
?yzx记er?i?j?k? 它是与OM同方向的单位向量? 则?
rrr gradm??me?
rr2r 上式右端在力学上可解释为? 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力? 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比? 这引力的方向由点M指向原点? 因此数量场
§8? 8 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的某个邻域内有定义? 如果对于该邻域内任何异于(x0? y0)的点(x? y)? 都有
f(x? y)
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m的势场即梯度场gradm称为引力场? 而函数m称为引力势?
rrr高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
则称函数在点(x0? y0)有极大值(或极小值)f(x0? y0)?
极大值、极小值统称为极值? 使函数取得极值的点称为极值点? 例1 函数z?3x2?4y2在点(0? 0)处有极小值? ?
当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 而当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 因此z?0是函数的极小值? 例2 函数z??x2?y2在点(0? 0)处有极大值? ?
当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 而当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 因此z?0是函数的极大值? 例3 函数z?xy在点(0? 0)处既不取得极大值也不取得极小值? ?
因为在点(0? 0)处的函数值为零? 而在点(0? 0)的任一邻域内? 总有使函数值为正的点? 也有使函数值为负的点?
以上关于二元函数的极值概念? 可推广到n元函数? 设n元函数u?f(P)在点P0的某一邻域内有定义? 如果对于该邻域内任何异于P0的点P? 都有
f(P)
则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)?
定理1(必要条件) 设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)具有偏导数? 且在点(x0? y0)处有极值? 则有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
证明 不妨设z?f(x? y)在点(x0? y0)处有极大值? 依极大值的定义? 对于点(x0? y0)的某邻域内异于(x0? y0)的点(x? y)? 都有不等式
f(x? y) 特殊地? 在该邻域内取y?y0而x?x0的点? 也应有不等式 f(x? y0) 这表明一元函数f(x? y0)在x?x0处取得极大值? 因而必有 fx(x0? y0)?0? 类似地可证 fy(x0? y0)?0? 从几何上看? 这时如果曲面z?f(x? y)在点(x0? y0? z0)处有切平面? 则切平面 z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0) 成为平行于xOy坐标面的平面z?z0? 类似地可推得? 如果三元函数u?f (x? y? z)在点(x0? y0? z0)具有偏导数? 则它在点(x0? y0? z0)具有极值的必要条件为 fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0? 仿照一元函数? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同时成立的点(x0? y0)称为函数z?f(x? y)的驻点? 从定理1可知? 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点? 但函数的驻点不一定是极值点? ? 高等数学课程建设组 高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用 例如? 函数z?xy在点(0? 0)处的两个偏导数都是零? 函数在(0? 0)既不取得极大值也不取得极小值? ? 定理2(充分条件) 设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令 fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C? 则f (x? y)在(x0? y0)处是否取得极值的条件如下? (1) AC?B2>0时具有极值? 且当A<0时有极大值? 当A>0时有极小值? (2) AC?B2<0时没有极值? (3) AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值? ?? 在函数f(x? y)的驻点处如果 fxx? fyy?fxy2>0? 则函数具有极值? 且当fxx<0时有极大值? 当fxx>0时有极小值? 极值的求法? 第一步 解方程组 fx(x? y)?0? fy(x? y)?0? 求得一切实数解? 即可得一切驻点? 第二步 对于每一个驻点(x0? y0)? 求出二阶偏导数的值A、B和C? 第三步 定出AC?B2的符号? 按定理2的结论判定f(x0? y0)是否是极值、是极大值 还是极小值? 例4 求函数f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值? ?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程组?? 2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得驻点为(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)? 再求出二阶偏导数 fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6? 在点(1? 0)处? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函数在(1? 0)处有极小值f(1? 0)??5? 在点(1? 2)处? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是极值? 在点(?3? 0)处? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是极值? 在点(?3? 2)处? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函数的(?3? 2)处有极大值f(?3? 2)?31? 应注意的问题? 不是驻点也可能是极值点? 高等数学课程建设组