高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
3．复合函数的中间变量既有一元函数? 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u??(x? y)在点(x? y)具有对x及对y的偏导数? 函数v??(y)在点y可导? 函数z?f(u? v)在对应点(u? v)具有连续偏导数? 则复合函数z?f[?(x? y)? ?(y)]在点(x? y)的两个偏导数存在? 且有
例1 设z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求 解
?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?
?x?u?x?y?u?y?vdy?z和?z? ?x?y?z??z??u??z??v ?x?u?x?v?x ?eusin v?y?eucos v?1 ?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?
?z??z??u??z??v
?y?u?y?v?y ?eusin v?x?eucos v?1 ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]? 例2 设u?f(x,y,z)?ex 解
2?y2?z2? 而z?x2siny? 求
?u和?u? ?x?y?u??f??f??z
?x?x?z?x2 ?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny
?
?2x?(1?2x2sin2y)ex
2?y2?x4sin2y?u??f??f??z ?y?y?z?y2 ?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy
?2(y?x4sinycosy)ex2?y2?x4sin2y?
例3 设z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全导数 解
dz? dtdz??z?du??z?dv??z dt?udt?vdt?t高等数学课程建设组
?v?et?u?(?sin t)?cos t
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?etcos t?e tsin t?cos t ?et(cos t?sin t)?cos t ?
?2w?w 例4 设w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数? 求及?
?x?x?z 解 令u?x?y?z? v?xyz ? 则w?f(u? v)?
?f(u,v)?f(u,v)????f11???f22??等? ? f12? 同理有f2?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf? 2? ?x?u?x?v?x1?2w??(f??yzf?)??f1??yf??yz?f2? 22?x?z?z1?z?z 引入记号? f1?????xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22?? ?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22??? ?f11 注?
?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z 例5 设u?f(x? y)的所有二阶偏导数连续? 把下列表达式转换成极坐标系中的形式? (1)(?u)2?(?u)2?2u?2u? (2)2?2? ?x?y?x?y解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)? 其中x??cosθ? y??sinθ?
??x2?y2? ??arctany? x应用复合函数求导法则? 得
?u??u????u????ux??uy??ucos???uysin?? ?x???x???x??????2??????u??u????u????uy??ux??usin???ucos??
????y???y???y??????2??
两式平方后相加? 得 (?u)2?(?u)2?(?u)2?1(?u)2?
?x?y???2??再求二阶偏导数? 得
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2?u??(?u)?????(?u)???
?x2???x?x???x?x?(?ucos???usin?)?cos? ????????(?ucos???usin?)?sin? ? ???????? ? ??2ucos2??2?2usin?cos???2usin?2
???????2??2?22?u2sin?cos??usin??
????????2同理可得
22222?u?u?usin?cos??ucos?2?sin??2?
??????y2??2??2?22?u2sin?cos??ucos??
? ???????2两式相加? 得
2222?u?u?u11?u
?????
?x2?y2??2??2??221??u?(?)?u]? ?2[???????2?
全微分形式不变性? 设z?f(u? v)具有连续偏导数? 则有全微分 dz??zdu??zdv? ?u?v如果z?f(u? v)具有连续偏导数? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有连续偏导数? 则
?zdx??zdy
?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy ?(
?u?x?v?x?u?y?v?y dz?
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? ??z(?udx??udy)??z(?vdx??vdy)
?u?x?y?v?x?y?zdu??zdv? ?u?v由此可见? 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数? 它的全微分形式是一样的? 这个性质叫做全微分形式不变性?
例6 设z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不变性求全微分? 解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v ? e usin v(y dx?x dy )? e ucos v(dx?dy)
?( ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v )dy
?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?
§8? 5 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形 隐函数存在定理1
设函数F(x? y)在点P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程F(x? y)?0在点(x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y?f(x)? 它满足条件y0?f(x0)? 并有
Fdy??x? ?dxFy 求导公式证明? 将y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0? 等式两边对x求导得
?F??F?dy?0? ?x?ydx由于F y连续? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一个邻域? 在这个邻域同Fy ?0? 于是得
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Fdy??x? dxFy 例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值?
解 设F(x? y)?x2?y2?1? 则Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在点(0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x)?
Fdydy??x??x? ?0? dxFyydxx?0x)y?x(?d2yy?xy?yy2?x21????????? dx2y2y2y3y3
d2y??1?
dx2x?0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数? 一个二元方程F(x? y)?0可以确定一个一元隐函数? 一个三元方程F(x? y? z)?0可以确定一个二元隐函数? 隐函数存在定理2
设函数F(x? y? z)在点P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 则方程F(x? y? z)?0在点(x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z?f(x? y)? 它满足条件z0?f(x0? y0)? 并有
?z??Fx? ?z??Fy? ??xFz?yFz 公式的证明? 将z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0? 将上式两端分别对x和y求导? 得 Fx?Fz??z?0? F?F??z?0?
?yz?y?x因为F z连续且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在点(x0? y0? z0)的一个邻域? 使F z?0? 于是得
?z??Fx? ?z??Fy?
?xFz?yFz2
2
2
?2z 例2. 设x?y?z?4z?0? 求2?
?x
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