一元一次方程及其应用
一、选择题
1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？( )
甲杯 乙杯 丙杯 底面积(平方公分) 60 80 100 A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5
分析：根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．
解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，
根据题意得：60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x， 解得：x＝2.4，
则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2(公分)． 故选C．
点评：此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
2.（2014?滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（ ） A． ﹣1 考点： 分析： 解答： 解一元一次方程 根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案． 解：2x﹣1=3，移项，得 2x=4， B． C． 1 D． 2 系数化为1得 x=2． 故选：D． 点评： 本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案．
二、填空题
1．（2014?浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x= ． 分析：此题可有两种方法：
（1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等； （2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1． 解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=．
点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填x=，不能直接填．
2. （2014?湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为
x人，可列方程为 2x+56=589﹣x ．
考点： 由实际问题抽象出一元一次方程． 分析： 设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可． 解答： 解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人， 由题意得，2x+56=589﹣x． 故答案为：2x+56=589﹣x． 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．
三、解答题
1. （2014?益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）． 参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
（第1题图）
考点：解 直角三角形的应用． 分析：设 AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解． 解答：解 ：设AD=x米，则AC=（x+82）米． 在Rt△ABC中，tan∠BCA=， ∴AB=AC?tan∠BCA=2.5（x+82）． 在Rt△ABD中，tan∠BDA=∴AB=AD?tan∠BDA=4x． ∴2.5（x+82）=4x， 解得x=． ≈546.7． ， ∴AB=4x=4×答：AB的长约为546.7米． 点评：此 题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
2. （2014?益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 第一周 第二周 3台 4台 5台 10台 B种型号 1800元 3100元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
考点：二 元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（ 1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解； （3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 解答：解 ：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：解得：， ， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台． 依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400， 解得：a≤10． 答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元； （3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400， 解得：a=20， ∵a＞10， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 点评：本 题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 3. （2014?株洲，第20题，6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； （2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； （3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； （4）下山用1个小时；
根据上面信息，他作出如下计划： （1）在山顶游览1个小时； （2）中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
考点：一 元一次方程的应用． 分析：由 （1）得 v下=（v上+1）千米/小时． 由（2）得 S=2v上+1 由（3）、（4）得 2v上+1=v下+2． 根据S=vt求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：上、下上时间+山顶游览时间． 解答：解 ：设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则 2v+1=v+1+2， 解得 v=2． 即上山速度是2千米/小时． 则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米．