复变函数课程练习题答案
一、填空题
1、4(1?i)的所有值=82[cos( 2、复数e3?4i?16?k??k?)?isin(?)]； 2162的幅角主值arge3?4i?4?2?；
3、设z?(2?3i)(?2?i)，则argz???arctan8；
(cos4??isin4?)29i?4、复数的指数式为 e，三角式为cos9??isin9?；
cos??isin?5、Ln(1?i)?ln2?i??2k?i； 246、cos(1?i)=cos1ch1?isin1sh1； 7、设f(0)?1,f?(0)?3?i，则limz?0f(z)?1?3?i ； z332727?i)??i； 22448、设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(?9、 函数ch(z3?4)的导数为3z2sh(z3?4)；
z?1z10、 函数e的导数为ez?1z(1?1) ； 2z3z2?111、. 函数ln(z?z?5)的导数为3；
z?z?5312、设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则13、 C为正向单位圆周z?1, 则积分
?2zdz?
c2；
C?3z2?2dz的值为 0 ；
z?1?2iz2?3z?214、设c为正向圆周z?4?1，则?dz?10?i；
c(z?4)2sin(z)22215、设c为正向圆周x?y?2x?0，则?24dz??i；
2z?1c16、幂级数
??C(z?1)nn?0??n在z??3收敛，则在z?2处的敛散性必为 收敛_；
17、幂级数
?C(z?1)nn?0n在z?0发散，则在z?3处的敛散性为必为发散 ；
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?18、幂级数
?(2i)nz2n?1的收敛半径
n?0?2； 219、幂级数
?n?1sinn?2(z)n的收敛半径R? 2； n2(?1)nn?120、幂级数?z在z?1内的和函数为ln(1?z)；
n?1n?0?(?1)n2n?121、函数arctanz在z0?0处的泰勒展开式为?z(z?1)；
2n?1n?0??1n?122、 函数2在z??1处的泰勒展开式为?n(z?1)(z?1?1)；
zn?1 23、设f(z)?1?cosz1?Res[f(z),0]?，则；
z5242i2,?]??； z324、Res[zcos3二、复数的表示
(cos7??isin7?)21、写出复数的指数表示式 2(cos5??isin5?)?i2(cos?7?is?in27)e7()12?i解 ??(e)2?e24?i 2?5?i2(cos5??isin5?)(e)2、将复数 1?cos??isin?(0????)化为三角形式和指数形式。
22解 r?(1?co?s)2?sin??4sin??2sin
22?sin?????????arctan(co)?tarctan(tan)? argz?arctan
1?cos?222s?isin??2sin?cos故 1?co?2?2??????isin??????2sine22??i???2
??i(1?i)(2?i)(3?i)3、设z?，写出该复数的指数表示式z?2e4
(3?i)(2?i)解 z??(1?i)(?2i)?(3i)?5i5z?? ??1?i，?z?2，arg45(1?i)5?i4?故 z?2e
三、解复数方程
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求方程sinz?cosz?0的全部解。
z?? 1 解 原方程即为 tani(1?)?故 zk?Artcan?21?iLn1?ii???2Ln(1?i?)Ln?(1 ? i)i??i?i??,2,。 ???(ln2?)?(ln2?)?2k?i??k?? (k?0,?1?2?444?四、求极限或导数
1、计算极限limz?2zz?z?2z?2
z2?4解： limz?2zz?z?2z?2(z?2)(z?1)(z?1)3= lim=lim=
z?2(z?2)(z?2)z?2(z?2)z2?44z?32、求极限lim解 limz?3zz?5z?3z?15
z2?2z?3zz?5z?3z?15(z?3)(z?5)(z?5)limlim===2 2z?3z?3z?2z?3(z?3)(z?1)(z?1)zdwd2w,3、设w?2zw?e?0，求； dzdz23解 两边对求导数，得3w2dwdw?2w?2z?ez?0 dzdzdw2w?ez? 所以 , dz3w2?2zdw?2dz2?6w(dw2dwz)?4?e8w?6ezw?12w2?3ezw2?4ez?2ezzdzdz? 2223w?2z(3w?2z)五、函数的解析性
1、设f(z)?my3?nx2?i(x3?lxy2)是解析函数，试确定l,m,n的值。 解 由于u?my3?nx2，v?x3?lxy2在复平面上可微，则
?u?v?u?v?2nxy，?3my2?nx2，?3x2?ly2，?2lxy， ?x?x?y?y又f(z)是解析函数，必有
?u?v?u?v?，??，即
?y?x?x?y2nxy?2lxy，3my2?nx2??3x2?ly2，由此得：n?l??3，m?1，
故 f(z)?3y?32xy?(i3x?32xy)? 3iz2、试证函数f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;在z平面上解析，并求f'(z)。 证明 由于
?u?v?u?u??sinxchy，??cosxshy，?cosxshy，??sinxchy， ?x?x?y?y第 3 页 共 11 页
满足
?u?v?u?v，???，所以
?x?y?y?xf(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;在z平面上解析；
显然f(z)?cosz; 所以 f?(z)??sinz; 3、证明w?sinz在复平面上不解析。（共6分） 证明 w?sinz?sin(x?yi)=sinxchy?icosxshy
∵u?sinxchy，v??cosxshy。
?u?v?u?v?cosxchy，?sinxshy；?sinxshy，??cosxchy。 ?x?x?y?y易见处处
?u?v?u?v?，??不同时成立，即不满足Cauchy-Riemann方程
?y?x?x?y∴ 在复平面上不解析。
六、计算复变函数的积分 1、 ?(z?i)ezdz；
?i0解：?(z?i)ezdz??(z?i)dez?ez(z?i)??ezdz
?i?i?i?i0000=ez(z?1?i)=?1?cos1?(1?sin1)i
?i02、?(2z?4z3)cos(z2?z4)dz；
i1解：?(2z?4z)cos(z?z)dz??cos(z?z)d(z?z)?sin(z?z)=sin2
iii1324124242413、?zshzdz；
0?i解：?zshzdz??zdchz?=?zchz?0??chzdz???i?sh(?i)=??i
000?i?i?i?iezdz ； 解4、?zz?1ez0dz?2?i?e?2?i ?zz?1 5、?c3z?1dz，其中 c:z?2?3的正向；
(z?2)z解
3z?115??，且z?0,z?2包含在z?2?3内，
(z?2)z2z2(z?2)所以
3z?11?15?1dz?dz?dz???2?i?5?2?i??6?i ?(z?2)z2???czcz?2??26、
z?1?(z?1)2f(z)dz，f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2。 2z第 4 页 共 11 页
解 由已知(z?1)2f(z)在z?R(R?1)内处处解析，所以由高阶导数公式
'f(z)2??(z?1)dz?2?i?(z?1)f(z)?2?zz?12z?0
2??2?i?2(z?1)f(z)?f'(z)(z?1)??z?0
?2?i?2f(0)?f'(0)??2?i?2?1?2??8?i 7、?C?ich(2z)dz；其中C为围绕?的任何一条正向简单闭曲线。 ?i6(z?)36解：令f(z)?ch(2z)，则此函数在复平面内解析，由高阶导数公式，得
2?i(2)?i?i?ch(2z)f(?)?i4ch(?)4?icos====2?i dz??i2!633C(z?)36?sinz8、?dz；其中C为围绕的任何一条正向简单闭曲线。
?54C(z?)4解：令f(z)?sinz，则此函数在复平面内解析，由高阶导数公式，得
C?sinz(z?)54?dz=
2?i(4)??i?2?if()=sin=。 4!412424 9、?C?ie2z，其中C为围绕的任何一条正向简单闭曲线。 dz2(2z??i)4解：令f(z)?e2z，则此函数在复平面内解析，由高阶导数公式，得
C?1e2z=dz16(2z??i)4C?e2z(z??i2dz=)412?i(3)?i?i2zf()=8e163!248z??i=?2?i 6七、解析函数与调和函数
1、证明v(x.y)?x3?3xy2是调和函数，并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数。
?v?2v?v?2v22??6xy ，2??6x，?3x?3y ，2?6x 证明：因为
?x?x?y?y?2v?2v 2?2?0，所以 v(x.y)?x3?3xy2是调和函数；
?x?y由于
?u?v???6xy，得u???6xydx??3x2y?g(y)， ?x?y?u?u?v??3x2?g'(y)，又由 ??，得?3x2?g'(y)??3x2?3y2， ?y?y?x即g'(y)?3y2，所以g(y)?y3?C，
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