故 f(z)?y3?3x2y?(i3x?3x2y?)C?(i3z? ) C 2、已知v??y3?3x2y，求解析函数f(z)?u?iv。
?v?2v?v?2v22?6xy，2?6y，??3y?3x，2??6y ， 解 由于?x?x?y?y?2v?2v32，所以??6y?6y?0v??y?3xy在整个复平面上调和。 22?x?y解法一 用偏积分法 由于
?u?u?v??3y2??'(x) ????6xy，所以 u???6xydy??3xy2??(x)，于是?x?y?x与从已知条件求出的结果比较，得?'(x)?3x2，?(x)?x3?C，所以
u??3xy2?x3?C，故
f(z)??3xy2?x3?C?i(?y3?3x2y)?x3?3ix2y?3xy2?iy3?C?(x?iy)3?C?z3?C.
解法二 用不定积分法
f'(z)??u?v?v?v?i??i??3y2?3x2?6ixy ?x?x?y?x?3(x2?y2?2ixy)?3z2， 故 f(z)??3z2dz?z3?C.
八、求泰勒级数的收敛半径
1、求幂级数?(3?i)nzn的收敛半径。
n?0?(3?i)n?1cn?1?2 解：∵ ??lim?limn??(3?i)nn??cn∴ 幂级数?(3?i)nzn的收敛半径R?n?0?1 2 2、求幂级数??1?i?zn的收敛半径。
n?0?n(1?i)n?1cn?1?解：∵ ??lim?limn??(1?i)nn??cn?n2 2 2∴ 幂级数??1?i?zn的收敛半径R?n?0i3、求幂级数?ch()zn的收敛半径。（共6分）
nn?0?第 6 页 共 11 页
解：∵??limn??cn?1cni1cosn?1?limn?1?1 ?limn??n??i1chcosnnch1i∴ 幂级数?ch()zn的收敛半径R??1
?nn?0?九、将下列函数在指定区域内展开成洛朗级数； 1、f(z)?1，圆环域：0?z?1； 2(z?1)''11??1??解 由于???????，所以
(z?1)2?z?1??1?z? f(z)?1?z?z2???zn???1?2z?3z2???nzn?1?? （ 0?z?1） 2、f(z)?1，在圆环域：1?z?2。见教材第132例1。
(z?1)(z?2)??'1?2z， 1?z?2
z2?3z?21?2z?311?2z3111?解：∵2=== ?zz1z?3z?2(z?2)(z?1)z?2z?121?1?2z3、f(z)??z11当1?z?2时，?1,?1，由展式??un，(u?1)知
2z1?un?01?2z3?zn1=?+
z2?3z?22n?02nz??13n1 =（1?z?2） ?z，???nn?1nz2zn?1n?0n?0?4、f(z)?解：∵
2?z，圆环域：3?z?4
(z?3)(z?4)122?z1111?== ?zz3(z?3)(z?4)z?3z?421?1?4z?z31当3?z?4时，?1,?1，由展式??un，(u?1)知
4z1?un?02?z1?zn1=?+
(z?3)(z?4)2n?04nz?3n3n?1?1n =?n??2n?1z，（3?z?4） ?nzz2n?0n?1n?0?5、f(z)?解：∵
3?2z，圆环域：2?z?3
(z?2)(z?3)133?2z111?== ?2z(z?2)(z?3)z?2z?3z1?1?z3第 7 页 共 11 页
?z21当2?z?3时，?1,?1，由展式??un，(u?1)知
3z1?un?013?2z=
(z?2)(z?3)z?2n?zn2n?1?1n+?n =?n??nz，（2?z?3） ?nz3z3n?0n?0n?1n?0?6、f(z)?11，圆环域：1?z?4；并计算?dz；
z(z?1)(z?4)z(z?1(z?4)z?31111 ???z(z?1)(z?4)4z3(z?1)12(z?4)解 f(z)? 当 1?z?4时，
1111?11???1??2?3(z?1)3z1?13z?zzz?111?2?33z3z3z?(?1)n1zn?1?(?1)n1?nz???
?
zn?(?1)n?4n1111?zz2??1??2?12(z?4)481?z48??444?? ?1zz2???483?433?44zn?(?1)?3?4n?2n
故 f(z)?1?4z11?1??23??3z3z3z?(?1)n1z?n?1? ???1zz2????34?483?43?4?(?1)nzn?(?1)?n?23?4n?? ?zn?(?1)?n?23?4n1zn?1?1111zz2?3?2????33z3z12z483?43?44
（1?z?4）
显然 c?1??
1，又闭曲线z?3在1?z?4内，故 1211?i dz?2?i?c?2?i?(?)???1?z(z?1(z?4126z?31圆环域：0?z?1?2；并计算2z?17、f(z)?1dz。 2?z?1z?1解 f(z)?111?? ， 当 0?z?1?2 时，
(z?1)(z?1)2(z?1)2(z?1)第 8 页 共 11 页
21111?z?1?z?1????1?????2(z?1)41?z?14?22???2n?z?1??(?1)n???2???? ??11z?1?z?1???3? 故 f(z)??42(z?1)4222?z?1??(?1)n?12nn?2?
显然 c?1?1，又闭曲线z?1?1在0?z?1?2内，故 211dz?2?i?c?2?i?()??i ?12?2z?1z?1十、利用留数计算复变函数的积分
1、 ?C1dz,其中C为正向圆周z?2; 2z(z?1)1在圆周z?2内的两个奇点分别为1级极点z?0和2级极点2z(z?1)111Resf(z),1?lim()?=-1 =1， ??z?1z?0(z?1)21!z解：函数f(z)?z?1. Res?f(z),0??lim∴ 由留数定理，?C1dz=2?i(1?1)?0。 2z(z?1)z172、 ?3dz,其中C为正向圆周z?3。 226(z?2)(z?1)Cz17解：函数f(z)?3在区域D：2?z??内解析，C在D内。
(z?2)2(z2?1)6??1?11?=-1 ,0Res?f(z),????Res?f()2,0?=?Res??3226?zz??(1?2z)(1?z)z?z17∴ 由留数定理，?3dz =?2?iRes?f(z),??=2?i。 226(z?2)(z?1)C 3、 ?Czdz,其中C为正向圆周z?3;
(z?1)(z?2)z在圆周z?3内的两个奇点分别为1级极点z?1和1级极
(z?1)(z?2)z?1解：函数f(z)?点z?2. Res?f(z),1??lim∴由留数定理，?Czz=-1，Res?f(z),2??lim=2
z?2z?1z?2zdz=2?i(?1?2)?2?i。
(z?1)(z?2)4、 ?Cz9dz,其中C为正向圆周z?3。 234(z?1)(z?2)第 9 页 共 11 页
解：函数f(z)?C?z9dz在区域D：2?z??内解析，C在D内。
(z2?1)3(z?2)4??1?11?=-1 ,0Res?f(z),????Res?f()2,0?=?Res??234?zz??(1?z)(1?2z)z?∴由留数定理，?Cz9dz =?2?iRes?f(z),??=2?i。
(z2?1)3(z?2)4 5、?Ccos(?z)dz,其中C为正向圆周z?4。
z(z?3)cos(?z)在圆周z?4内的两个奇点分别为1级极点z?0和1级极点
z(z?3)cos(?z)1cos(?z)1=?，Res?f(z),3??lim=?
z?0z?3z?33z3114?icos(?z)。 dz=2?i(??)??333z(z?3)解：函数f(z)?z?3.Res?f(z),0??lim∴由留数定理，?Cz166、 ?dz,其中C为正向圆周z?4。 3324(2?z)(z?3)Cz16解：函数f(z)?在区域D：3?z??内解析，C在D内。
(2?z3)3(z2?3)4??1?11?=1 ,0Res?f(z),????Res?f()2,0?=?Res?3?324zz???(2z?1)(1?3z)z?z16∴ 由留数定理， ?dz=?2?iRes?f(z),??=-2?i。 3324(2?z)(z?3)C十一、利用留数计算定积分和广义积分
1、?????x2?x?2dx。 42x?10x?9??解 令 R(z)????z2?z?2dz
(z2?9)(z2?1)则R(z)在上半平面有一级极点z?3i和z?i，
?z2?z?2?7?3i 由于 Res?R(z),3i??lim?(z?3i)2??48i 2z?3i(z?9)(z?1)???z2?z?2?1?i Res?R(z),i??lim?(z?i)2??2z?i(z?9)(z?1)?16i??????105x2?x?2?2?i?? dx4248i12x?10x?9第 10 页 共 11 页
d?(a?0)。
0a2?sin2?ππd?d?12πdt解 ?2???021?cos2?2?021?cost(2??t) 0a?sin2?a?a?22 2、???121dzdz??2i. 2?22?1?(z?1)2zizz?2(2a?1)z?1z?12z?1a?2极点为：z1?2a2?1?(2a2?1)2?1（在单位圆内）
z2?2a2?1?(2a2?1)2?1（在单位圆外）
故
??0d??2πi?2iRes[f(z),(2a2?1?22a?sin???0?2a2?1??1)]?2?aa?12。
3、计算积分I??解 由于R(z)?
xsinxdx x2?4z在上半平面有一级极点2i，所以 2z?4?????xe?2ixzedx??2πiRes[Rz(e)i,?2π]?i22x?42???π?2i e 故 I??0xsinx?e?2dx= x2?42第 11 页 共 11 页