第六章 数列
第一节 等差数列、等比数列的概念及求和
第一部分 五年高考体题荟萃
2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.
212 B. C. 2 D.2 22【答案】B
284【解析】设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q,即q2?2,又因为等比数列{an}的公
??2比为正数，所以q?2,故a1?a212,选B ??q22，则
等
2.(2009安徽卷文）已知于
为等差数列，
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【解析】∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4?33∴公差d?a4?a3??2∴
a20?a4?(20?4)?d?1.选B。
【答案】B
3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C
2【解析】由a4?a3a7得(a1?3d)?(a1?2d)(a1?6d)得2a1?3d?0,再由
256d?32得 2a1?7d?8则d?2,a1??3,所以290S10?10a?1d?60,.故选C
2S8?8a1?4.（2009湖南卷文）设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于
( )
A．13 B．35 C．49 D． 63 【解析】S7?7(a1?a7)7(a2?a6)7(3?11)???49.故选C. 222?a2?a1?d?3?a1?1??或由?, a7?1?6?2?13.
a?a?5d?11d?2?1?67(a1?a7)7(1?13)??49.故选C. 225.（2009福建卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于
所以S7?A．1 B 【答案】：C [解析]∵S3?6?5 C.- 2 D 3 33(a1?a3)且a3?a1?2d a1=4 ? d=2.故选C 26.（2009辽宁卷文）已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝ A.－2 B.－
11 C. D.2 221 2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 ? d＝－【答案】B
7.（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B
【解析】设公差为d，则(1?d)?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100
28.（2009宁夏海南卷文）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，
2S2m?1?38,则m?
A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C
2【解析】因为?an?是等差数列，所以，am?1?am?1?2am，由am?1?am?1?am得：2am?0，
－am＝0，所以，am＝2，又S2m?1?38，即＝38，解得m＝10，故选.C。
2
(2m?1)(a1?a2m?1)＝38，即（2m－1）×2
29..（2009重庆卷文）设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则
?an?的前n项和Sn=（ ）
n27nn25nn23n? C．? ?A． B．332444【答案】A
【解析】设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2?2d)2?2?(2?5d)，解得d?D．n?n
21或2n(n?1)1n27nd?0（舍去）???，所以数列{an}的前n项和Sn?2n?
2244二、填空题
10.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 答案 24
解析 ??an?是等差数列,由S9?72,得?S9?9a5,a5?8
?a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24.
11.（2009浙江理）设等比数列{an}的公比q?答案：15
1S，前n项和为Sn，则4? ． 2a4a1(1?q4)s41?q43解析 对于s4?,a4?a1q,??3?151?qa4q(1?q)
12.（2009北京文）若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5? ；
前8项的和S8? .（用数字作答） 答案 225
.解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
a1?1,a2?2a1?2,a3?2a24,a4?2a3?8,a5?2a4?16，
28?1?255，∴应填255. 易知S8?2?113.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{an}的前n项和为sn。若a1?1,s6?4s3，则a4= × 答案：3
解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由a1?1,s6?4s3得q=3故a4=a1q=3 14.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
3
3
S9? S5解析 ??an?为等差数列，?答案 9
S99a5??9S55a3
15.（2009辽宁卷理）等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5,则a4? 1解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d
2 ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 答案
13
三、解答题
16.（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N，其中k是常数． （I） 求a1及an；
（II）若对于任意的m?N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解（Ⅰ）当n?1,a1?S1?k?1，
**n?2,an?Sn?Sn?1?kn2?n?[k(n?1)2?(n?1)]?2kn?k?1（?）
经验，n?1,（?）式成立， ?an?2kn?k?1 （Ⅱ）?am,a2m,a4m成等比数列，?a2m?am.a4m，
即(4km?k?1)?(2km?k?1)(8km?k?1)，整理得：mk(k?1)?0， 对任意的m?N?成立， ?k?0或k?1
17.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.
?22
（Ⅰ）若p?11,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解（Ⅰ）由题意，得an?∴
112011n?，解n??3，得n?.
2332311n??3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7. 23（Ⅱ）由题意，得an?2n?1， 对于正整数，由an?m，得n?根据bm的定义可知
**当m?2k?1时，bm?kk?N；当m?2k时，bm?k?1k?N.
m?1. 2????∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?
??1?2?3???m????2?3?4????m?1???
?m?m?1?m?m?3???m2?2m. 22（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?q. p∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有
3m?1?m?q?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立. pp?q2p?q（或m??）， 3p?13p?1 当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m?? 这与上述结论矛盾！ 当3p?1?0，即p?12121时，得??q?0???q，解得??q??. 33333