∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)；
p和q的取值范围分别是p?
121，??q??.. 333?18.(2009山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(,nS)n，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4anx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r,
当n?1时,a1?S1?b?r,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??4an4?2n?12n?1234n?1????? 2223242n?11234nn?1Tn??????? 22324252n?12n?2121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132??n?2??n?1?n?2
1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1
22222【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和Tn. 19.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n项
和sn.
解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设?an?的公差为d，则
???a1?2d??a1?6d???16 ?a?3d?a?5d?0??11?a12?8da1?12d2??16即? ?a1??4d?a1??8,?a1?8解得? 或?d?2,d??2??因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 20.（2009安徽卷文）已知数列{
（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
}的通项公式；
＜
} 的前n项和
，数列{
}的前n项和
，证明：当且仅当n≥3时，
?a1 (n?1) 【思路】由a??可求出an和bn，这是数列中求通项的常用方法之一，在
s?s (n?2)n?1?n求出an和bn后，进而得到cn，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 【解析】(1)由于a1?s1?4
当n?2时, an?sn?sn?1?(2n2?2n)?[2(n?1)2?2(n?1)]?4n?am?4n(n?N*) 又当x?n时bn?Tn?Tn?1?(2?6m)?(2?bm?1)?2bn?bn?1
11?数列?bn?项与等比数列,其首项为1,公比为?bn?()n?1
221(n?1)?1216(n?1)?()21n?1Cn?1(n?1)222(2)由(1)知C1?a1?bn?16n?()? ??212Cn2n16n2?()n?12
Cn?1(n?1)2由?1得?1即n2?2n?1?0?n?1?2即n?3
Cn2n又n?3时
(n?1)2Cn?1?1成立,即?1由于Cn?0恒成立. 2n2Cn因此,当且仅当n?3时, Cn?1?Cn
21.（2009江西卷文）数列{an}的通项an?n(cos(1) 求Sn;
22n?n??sin2)，其前n项和为Sn. 33S3n,求数列｛bn｝的前n项和Tn. n?4nn?2n?2n??sin2?cos解: (1) 由于cos,故
333(2) bn?S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)???(a3k?2?a3k?1?a3k) 12?2242?52(3k?2)2?(3k?1)2222?(??3)?(??6)???(??(3k)))222?133118k?5k(9k?4)?????, 2222k(4?9k)S3k?1?S3k?a3k?,
2S3k?2k(4?9k)(3k?1)213k?21?S3k?1?a3k?1????k???,
22236n1???,n?3k?2?36??(n?1)(1?3n),n?3k?1 (k?N*) 故 Sn??6??n(3n?4),n?3k?6?(2) bn?S3n9n?4?, nnn?42?4113229n?4Tn?[?2???], n24441229n?44Tn?[13????n?1],
244两式相减得
99?n1999n?419n?419n3Tn?[13????n?1?n]?[13?44?n]?8?2n?3?2n?1,
1244424221?4813n?.故 Tn??33?22n?322n?1
22. （2009天津卷文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn?a1?a2q???anqn?1
Tn?a1?a2q???(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*
（Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a1?d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若q??1,证明（1?q）S2n2dq(1?q2n)* ?(1?q)T2n?,n?N21?q（1）解：由题设，S3?a1?(a1?d)q?(a1?2d)q2,将q?1,a1?1,S3?15 代入解得d?4，所以an?4n?3n?N*
（2）解：当a1?d,S1?d,S2?d?2dq,S3?d?2dq?3dq2,?S1,S2,S3成等比数列，
2所以S2?S1S3，即（d?2dq）?d（d?2dq?3dq2)，注意到d?0，整理得q??2
2（3）证明：由题设，可得bn?qn?1，则
S2n?a1?a2q?a3q2??a2nq2n?1 ① T2n?a1?a2q?a3q2???a2nq2n?1 ②
①-②得，
S2n?T2n?2(a2q?a4q3???a2nq2n?1)
①+②得，
S2n?T2n?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) ③
③式两边同乘以 q，得q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q???a2n?1q所以(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q32n?122n?2)
2dq(1?q2n) )?21?q（3）证明：c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak2?al2)b2?(akn?aln)bn
1
n?1=(k1?l1)db 1?(k2?l2)db1q???(kn?ln)db1q因为d?0,b1?0，所以
c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1若kn?ln，取i=n，
若kn?ln，取i满足ki?li，且kj?lj，i?1?j?n 由（1）（2）及题设知，1?i?n，且
c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1①
当ki?li时，ki?li??1，由q?n，ki?li?q?1,i?1,2?,i?1
即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1),?(ki?1?li?1)qi?2?q(q?1)i?2
c1?c21?qi?1i?2i?1所以?(q?1)?(q?1)q???(q?1)q?q?(q?1)?qi?1??1
db11?q因此c1?c2?0 ②
当ki?li时，同理可得
c1?c2??1,因此c1?c2?0 db1综上，c1?c2
【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。
23. （2009全国卷Ⅱ理）设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （II）求数列{an}的通项公式。
解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?a4,1?2a2?3a1?2?5,?b???1a22a13
由Sn?1?4an?2，．．．① 则当n?2时，有Sn?4an?1?2．．．．．②