答案
第一部分 1. A
【解析】因为 ?? ?? =2??3+3??2?12??+9，
所以 ??? ?? =6??2+6???12=6 ??+2 ???1 ， 则当 01 时，??? ?? >0，函数 ?? ?? 递增， 所以 ?? ?? min=?? 1 =2，
因为 ?? ?? =???2?6???3=? ??+3 2+6≤6， 作函数 ??=?? ?? 的图象，如图所示，
当 ?? ?? =2 时，方程两根分别为 ?5 和 ?1， 则 ?? 的最小值为 ?5． 2. A
【解析】因为 ?? ?? =e??+???2，
所以 ??? ?? =e??+1>0， 则 ?? ?? 在 ?? 上为增函数，
又 ?? 0 =e0?2<0，?? 1 =e?1>0，且 ?? ?? =0， 所以 0
因为 ?? ?? =ln??+??2?3， 所以 ??? ?? =+2??．
??1
当 ??∈ 0,+∞ 时，??? ?? >0， 所以 ?? ?? 在 0,+∞ 上为增函数，
又 ?? 1 =ln1?2=?2<0，?? 2 =ln2+1>0，且 ?? ?? =0， 所以 1
?? ?? >?? ?? =0,所以
?? ??
【解析】由题意得 ??? ?? =
1??ln2
+1>0 在 0,+∞ 上恒成立，
所以函数 ?? ?? =log2??+???2 在 0,+∞ 上单调递增， 因为 ?? 1 =?1<0，?? 2 =1+2?2=1>0，
所以函数 ?? ?? =log2??+???2 的零点所在的区间为 1,2 ．
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4. D 5. D
∣cos??∣??
【解析】由于方程
=?? 在 0,+∞ 上有两个不同的解 ??，??（??
即方程 ????=∣cos??∣ 在 0,+∞ 上有两个不同的解 ??，??（??
也就是说，直线 ??=???? 与函数 ?? ?? =∣cos??∣ 在 ?? 轴右侧的图象有且仅有两个交点， 由图象可知，
当直线 ??=???? 与曲线 ?? ?? =∣cos??∣ 相切时满足题意，且切点的横坐标为 ??，此时 ≤??≤π，
2
π
又当 ≤??≤π 时，?? ?? =?cos??，则 ??? ?? =sin??，
2
π
故 ??=??? ?? =sin??，
在切点处有 ????=?? ?? =?cos??，即 ??=sin??=?故 tan??=?，tan ??+ ==
??41?tan??6. D
1
π
tan??+1
?+111+??1??
cos????
，
=
???1??+1
．
2 33
【解析】??? ?? =3??2?4，令 ??? ?? =0 得 ??=?
2 332 33
或 ??=
2 33
，
2 33
所以 ?? ?? 在 ?∞,?所以 ?? ?? 在 ?∞,?所以 ??1
32 33
上单调递增，在 ? ， ?
2 32 33
,
3
上单调递减，在 ,+∞ 上单调递增．
2 32 32 3, ， ,+∞ 上各有一个零点． 333
2 33
2 3 >0，?? 0 =??>0，?? 1 =?3+??<0，?? <0，
所以 00， 所以 ??3<2，故C错误． 7. A
8. A
9. C
【解析】因为函数 ?? ?? =3??3+??2????? 在区间 1,+∞ 上单调递增，
1
所以 ??? ?? =??2+2????? 在区间 1,+∞ 上的值大于或等于 0 恒成立； 即 ??2+2?????≥0 在区间 1,+∞ 上恒成立， 所以 ??≤??2+2??，??∈ 1,+∞ 恒成立， 因为当 ??>1 时，??2+2??>3， 所以 ??≤3;???①
因为函数 ?? ?? =3??3+??2????? 在区间 1,+∞ 上单调递增，且在区间 1,2 上有零点， 所以 ?? 1 <0，?? 2 >0， 所以 3
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4
103
1
;???②
4
由 ①，② 得：3
【解析】函数 ?? ?? =??cos???sin???sin??，??∈ ???π,0 ∪ 0,??π 的零点的个数等于方程 ??cos???
??
??
sin??=sin??，??∈ ???π,0 ∪ 0,??π 解的个数；
??
??
设 ??1=??cos???sin??，??2=??sin??， 因为 ???1=???sin??， 所以 ??1=??cos???sin??．
在 ?， ?5π,?4π ， ?3π,?2π ， ?π,0 ， 0,π ， 2π,3π ， 4π,5π ，? 上单调递减； 在 ?， ?4π,?3π ， ?2π,?π ， π,2π ， 3π,4π ，? 上单调递增； 如图中实线所示；
??
???2=??
??cos???sin??
??2，由 ??1=??cos???sin?? 的图象可得：??>0 时，??2=sin?? 的图象，如图中虚线所示；
??
??
则函数 ?? ?? 共有 2???1 个零点；
由函数图象的对称性可得，当 ??<0 时，函数 ?? ?? 零点个数仍为 2???1 个． 11. A 【解析】由题意，??? ?? =则 ??=
??ln????
?? 1?ln??
??21
，取切点 ??,?? ，
，??=2??，
eln????
?? 1?ln??
所以 ?? ?? =，??? ?? =
??2
e 1?ln??
??2
=2，所以 ??=e． ，
函数 ?? ?? 在 0,e 上单调递增， e,+∞ 上单调递减， ?? 1 =0，??→+∞，?? ?? →0，由于 ?? e =1，?? 1 =0，
所以当函数 ?? ?? =?? ?? ?? ??? 恰有一个零点时，实数 ?? 的取值范围是 0 ．
12. A 【解析】?? ?? =??2+?? ??>0 的导数 ??? ?? =
e??
e??
e?? ??2?2??+??
， ??2+?? 2
因为 ?? ?? =??2+?? ??>0 的两个极值点分别为 ??1，??2 ??1
所以方程 ??2?2??+??=0 由两个不等实根，??=4?4??>0?0
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且 ??1??2=??，
所以 ?? ln??1+ln??2 =??ln?? 0
当 ??∈ 0,e 时，??? ?? =ln??+1<0，??∈ e,1 时，??? ?? =ln??+1>0， 函数 ?? ?? =??ln?? 0
1
1
1
函数 ?? ?? 的值域为 ?,0 ．
e
1
则 ?? ln??1+ln??2 的取值范围是 ?,0 ．
13. B 【解析】函数 ?? ?? =??+e??，对任意 ??∈??，?? ?? >???? 恒成立， 所以 ??+e??>???? 恒成立，即 e??> ???1 ?? 恒成立； 设 ?? ?? =e??，?? ?? = ???1 ??，??∈??；
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：
11
1
e1
1
则满足不等式恒成立的是 ?? ?? 的图象在 ?? ?? 的图象下方， ?? ?? 的导数为 ??? ?? =?e???，
则过 ?? ?? 图象上点 ??0,??0 的切线方程为 ?????0=?e???0 ?????0 ， 且该切线方程过原点 0,0 ， 则 ??0=?e???0???0，
即 e???0=?e???0???0，解得 ??0=?1； 所以切线斜率为 ??=?e???0=?e， 所以应满足 0≥???1>?e， 所以 1?e
所以实数 ?? 的取值范围是 1?e,1 ． 14. D 15. B
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【解析】函数 ?? ?? 的图象恒在直线 ??=???? 的下方， 由于 ?? ?? 的图象和 ??=???? 的图象都过原点， 当直线 ??=???? 为 ??=?? ?? 的切线时，切点为 0,0 ， 由 ?? ?? 的导数 ??? ?? =
cos?? 2+cos?? ?sin?? ?sin??
2+cos?? 21
2cos??+1
= 2+cos?? 2，
13
可得切线的斜率为 2+cos0 2=3，
可得切线的方程为 ??=??，结合图象，可得 ??≥．
31
2cos0+1
16. B 【解析】设 ?? ?? =??e??，?? ?? =2???????，
由题意可得 ?? ?? =??e?? 有部分在直线 ?? ?? =2??????? 下方， ??? ?? = ??+1 e??，?? ?? =2??????? 恒过定点 2,0 ，
设直线与曲线相切于 ??,?? ，可得 2??= ??+1 e??，??e??=2???????， 消去 ??，可得 2??2????1=0，解得 ??=1 舍去 或 ?，
21
1
1
则切线的斜率为 2??= ?+1 e?2，解得 ??=
2
114 e，
又由题设知原不等式无整数解，
由图象可得当 ??=?1 时，?? ?1 =?e?1，?? ?1 =?3??， 由 ?? ?1 =?? ?1 ，可得 ??=3e， 由直线绕着点 ,0 旋转，可得
21
13e1
≤??<
14 e．
17. C 【解析】因为函数 ?? ?? =?? ??2+?? ?ln?? ??>0 有唯一零点 ??0，所以方程 ??2+??=??ln?? 有一个根，即 ?? ?? =??2+ 与 ?? ?? =ln?? 有一个公共点，??? ?? =
??
??
2
1
2 ??3?1 ??2
221
，
所以 ?? ?? =??2+?? 在 0,1 减，在 1,+∞ 上增， 而由题意知，?? ?? =ln?? 是一个增函数，
??1
2
故两函数在 1,+∞ 上有一个公共点，且过该点存在一条为两函数的公共切线，不妨令该点坐标 ??,?? ， 2?????2=????,
两式联立，消去 ?? 可得，??2+2= 2??2?2 ln??， 则必有 21????
??2+??=??ln??
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2
1