令 ??=1 可得等号左式的值为 3，右侧为 0；
令 ??=2 可得等号左式的值为 5，右侧为 7ln2≈4.85<5； 令 ??=3 可得等号左式的值为 9+，右侧为 18? ln3>10．
33综上得 ??∈ 2,3 ，即 2
18. B 【解析】因为 ?? ??? =?? ?? ， 所以函数 ?? ?? 为偶函数， 因为当 ??=0，?? ?? =0 时， 所以要求函数 ?? ?? 有 5 个零点，
只要求出当 ??>0 时，?? ?? 有 2 个零点即可， 分别 ??=e?? 与 ??=????? 的图象，如图所示，
2
2
设直线 ??=????? 与 ??=e?? 相切， 切点为 ??0,??0 ， 所以 ???=e??， 所以 ??=e??0=所以 ??0=1． 所以 ???=e，
因为当 ??>0 时，?? ?? 有 2 个零点即可． 所以 ???>e， 所以 ??
19. C 【解析】因为当 ??>0 时，函数 ?? ?? =ln?????+1 有 ??? ?? =???1=根据奇函数的对称性，作出其函数图象如图所示：
1
1?????
e??0??0
，
，
所以函数 ?? ?? 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，当 ??=1 时函数有极大值为 ?? 1 =0，
由函数图象可知 ??=e?? 和 ??=?? ?? 有两个不同交点． 20. B
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【解析】函数 ?? ?? =ln???2??+6 的定义域为 0,+∞ ， ??? ?? =?2=
??
11
1?2????
．令 ??? ?? =0，解得 ??=．
2
1
当 00，函数 ?? ?? 单调递增； 当 ??> 时，??? ?? <0，函数 ?? ?? 单调递减．
21
1
所以当 ??=2 时，函数 ?? ?? 取得极大值即最大值． ?? 2 =ln2?1+6=5?ln2>0．
当 ??>0 且 ??→0 时，?? ?? →?∞；当 ??→+∞ 时，?? ?? →?∞． 故函数 ?? ?? 有且只有两个零点．
21. A 【解析】由 ??? ?? =3??2+2????+??，??1，??2 是方程 3??2+2????+??=0 的两根，又 ??2>??1，由 3 ?? ?? 2+2???? ?? +??=0，则有两个 ?? ?? 使等式成立，即 ?? ?? =??1,?? ?? =??2，又因为 ??1=?? ??1 ，??2>??1=?? ??1 ，由图象可知有三个交点．
1
1
22. C 【解析】由题意，??? ?? =
4
?? 2??? e??，
所以 ??<0 或 ??>2 时，??? ?? <0，函数单调递减，00，函数单调递增， 所以 ??=2 时，函数取得极大值 2，
e
2 ?? ?? 关于 ?? 的方程 ?? ?? +
2
???=0 有四个相异实根，
2
2
则 ??+???=0 的一根在 0, ，另一根在 ,+∞ 之间，
??ee所以 ?e+??<0，
e2
2
所以 ??>e+e．
23. A 24. D 【解析】因为 ?? ?? =??3?3????， 所以 ??? ?? =3??2?3??=3 ??2??? ， 因为 ?? ?? 存在唯一零点， 所以 ?? ?? 在 ?? 上单调，
即 ??? ?? ≥0 恒成立，或 ??? ?? ≤0 恒成立， 所以 3 ??2??? ≥0 恒成立，??2≥?? 恒成立， 所以 ??≤0，3 ??2??? ≤0 不能恒成立， 所以 ?? 的取值范围为 ?∞,0 ． 25. D
【解析】??? ?? =6????2?6????=6?? ??????? ，由 ??? ?? =0 得 ??=0 或 ??=??．
??
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因为函数 ?? ?? 有两个不同零点，又 ?? 0 =10，则 ?? ?? =0，即 2??? ?? ?3??? ?? +10=0，整理得 ??3=10??2， 所以 3lg??=1+2lg??，
所以 5lg2??+9lg2??=5lg2??+9 3+3lg?? =9 lg??+9 +9． 所以当 lg??=? 时，5lg2??+9lg2?? 的最小值是 ．
9
9
2
5
2????
2??2?2?????2??
??
2
1
2
2
22
5
??
??3??2
26. A 【解析】令 ?? ?? =??2?2??ln???2????，??? ?? =2???令 ??? ?? =0，所以 ??2????????=0， 因为 ??>0，??>0，所以 ??0=
??+ ??2+4??2
?2??=
=?? ??2???????? ，
，
当 ??∈ 0,??0 时，??? ?? <0，所以 ?? ?? 在 0,??0 上单调递减， 当 ??∈ ??0,+∞ 时，??? ?? >0，所以 ?? ?? 在 ??0,+∞ 上单调递增，
2??0?2??ln??0?2????0=0,?? ??0 =0,又 ?? ?? =0 有唯一解，所以 即 2
??? ??0 =0,??0?????0???=0,
两式相减得：2??ln??0+????0???=0?2ln??0+??0?1=0???0=1， 所以 ??=．
21
27. D 【解析】若 ??>0，则 ?? ??? =e??+????=?? ?? ，同理，当 ??<0 时，?? ??? =?? ?? ， 所以 ?? ?? 是偶函数， 又 ?? 0 =0，
所以 ??=0 是 ?? ?? 的一个零点， 因为 ?? ?? 有三个零点，
所以 ?? ?? 在 0,+∞ 上只有一个零点. 当 ??>0 时，令 ?? ?? =0 得 e??=?????，
e??0=???,所以直线 ??=????? 与 ??=e?? 相切．设切点坐标为 ??0,??0 ．则
?????0=e??0,解得 ??0=1，??=?e．
28. D 【解析】因为曲线 ??=?? ?? 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 ?? 轴垂直， 所以 ??? ?? =??+ ???1 e???=0 有两个不同的解，即得 ??= 1??? e??? 有两个不同的解， 设 ??= 1??? e???，则 ???= ???2 e???， 所以 ??<2，???<0，??>2，???>0， 所以 ??=2 时，函数取得极小值 ?e?2， 所以 0>??>?e?2．
29. C 【解析】设 ?? ?? =e?? 3???1 ，?? ?? =???????， 则 ??? ?? =e?? 3??+2 ，
所以 ??∈ ?∞,?3 时，??? ?? <0，?? ?? 单调递减， ??∈ ?3,+∞ 时，??? ?? >0，?? ?? 单调递增， 所以 ??=?3 时，取最小值 ?3e?3， 所以 ?? 0 =?1
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2
2
2
2
?? 1 ??? 1 =2e>0，
直线 ?? ?? =??????? 恒过定点 1,0 且斜率为 ??， 所以 ?? ?1 ??? ?1 =?4e?1+2??>0， 所以 ??>e，??<1， 所以 ?? 的取值范围 e,1 ． 30. B
2??2?3??,
31. C 32. D 【解析】函数 ?? ?? = ??
,e??则函数 ??=
??e??2
2
??>0
的图象上存在两点关于 ?? 轴对称， ??<0
，??<0 的图象关于 ?? 轴对称变换后，与 ??=2??2?3??，??>0 的图象有交点，即
2??2?3??e??e??
??e??=2??2?3?? 有正根，即 ??=令 ?? ?? =
2??2?3??e??
有正根， ，
，则 ??? ?? =
12
?2??2+7???3
令 ??? ?? =0，则 ??=，或 ??=3，
由 03 时，??? ?? <0，由 23 时，??? ?? >0， 可知当 ??=2 时，?? ?? 取极小值 ?e?2，当 ??=3 时，?? ?? 取极大值 9e?3， 又由当 ??→0 或 ??→+∞ 时，?? ?? →0，
故当 ??= 时，?? ?? 取最小值 ?e，当 ??=3 时，?? ?? 取最大值 9e?3，
21
?
1211
1
1
即实数 ?? 的取值范围是 ?e,9e?3 ． 33. D 34. C 【解析】令 ?? ??1 =?????1，
则 ?? ??1 =?????1 在 ??1∈ 0,1 上单调递减，且 ?? 0 =??，?? 1 =???1．
2??2
令 ?? ??2 =??2e，
2??2则 ??? ??2 =2??2e??2+??2e=??2e??2 ??2+2 ，且 ?? 0 =0，?? ?1 =e，?? 1 =e． 2??2若对任意的 ??1∈ 0,1 ，总存在唯一的 ??2∈ ?1,1 ，使得 ??1+??2e???=0 成立，
1
?
1
2即 ?? ??1 =?? ??2 ，
则 ?? ??1 =?????1 的最大值不能大于 ?? ??2 的最大值， 即 ?? 0 =??≤e，
因为 ?? ??2 在 ?1,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增， 所以当 ?? ??2 ∈ 0, 时，有两个 ??2 使得 ?? ??1 =?? ??2 ．
e1
若只有唯一的 ??2∈ ?1,1 ，使得 ?? ??1 =?? ??2 ， 则 ?? ??1 的最小值要比 e 大， 所以 ?? 1 =???1>e， 所以 ??>1+e，
故实数 ?? 的取值范围是 1+e,e ． 35. B
【解析】由条件可知函数 ?? ?? 的值域为 0,1 ，方程 ?? ?? =0 的根为 0，?π，π，
1
1
11
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所以方程 ?? ?? ?? =0 的根为方程 ?? ?? =0 或 ?? ?? =?π 或 ?? ?? =π 的根，
显然方程 ?? ?? =0 有 3 个实根，?? ?? =?π 与 ?? ?? =π 均无实根， 所以方程 ?? ?? ?? =0 的实根个数为 3，即 ??=3；
由 ?? ?? =???2sin?? 是奇函数，先考虑 ??∈ 0,π 的图象，因 ??? ?? =1?2cos??， 由 ??? ?? >0 得 ??∈ 3,π ，可知 ?? ?? 在 3,π 上递增，
由 ??? ?? ≤0，得 ??∈ 0,3 ，可知 ?? ?? 在 0,3 上递减， 又 ?? 0 =0，?? π =π，
由图象关于原点对称得 ?? ?? 的示意图，
π
π
π
π
极小值为 ?? =? 3≈?0.7，极大值为 ?? ? ≈0.7．
333
方程 ?? ?? ?? =0 的实根为方程 ?? ?? =0 或 ?? ?? =?π 或 ?? ?? =π 的根， 显然方程 ?? ?? =0 有 3 个根，方程 ?? ?? =?π 与 ?? ?? =π 各有 1 个根， 从而方程 ?? ?? ?? =0 实根的个数为 5，即 ??=5； 记方程 ?? ?? =0 除 0 外的另外两个实根分别为 ??0，???0，
可知 ??0>1，方程 ?? ?? ?? =0 的实根为方程 ?? ?? =0 或 ?? ?? =??0 或 ?? ?? =???0 的根，显然方程 ?? ?? =0 有 3 个根，
方程 ?? ?? =??0 与 ?? ?? =???0 各有 1 个根， 从而方程 ?? ?? ?? =0 根的个数为 5，即 ??=5， 故 ??+??+??=13．
36. A 【解析】因为函数 ?? 2??? =?? ?? 可得图象关于直线 ??=1 对称，且函数为偶函数则其周期为 ??=2，
又因为 ??? ?? =???1=象如图所示：
1
1?????
πππ
，当 ??∈ 1,2 时有 ??? ?? ≤0，则函数在 ??∈ 1,2 为减函数，作出其函数图
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