2009年山东省初中教师新课程远程研修
数 学 课 程 简 报
第八期
2009年8月4日（星期二）
编：马 复 编 委：马 复 颜 峰 褚爱华 云 鹏 陈 杰 姜仲平 孟伯谨 毕文卿 吕学江 张全红 邱 军 汤华财 刘家华 张宝军 主 编：颜 峰 褚爱华 执行责编：陈 杰 张全红 毕文卿 专家引领
关于课题学习
马 复
1．义务教育数学课程标准为什么增设“实践与综合运用”学习领域
我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此《基础教育课程改革纲要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为
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必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。
同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域。具体地，《义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。当然随着学段的变化，侧重点有所不同，初中阶段则侧重于在实践基础上的“课题学习”，让学生通过一些具有挑战性的研究课题，获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。
2．教材中设计“课题学习”的必要性
课程标准中明确提出了加强数学的应用教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动，培养学生的研究能力。现行实验教材的编写和日常教学的开展中已较好的体现了这一点，在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中，也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、注重了学生研究性学习方式的养成。因此，有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”，可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动，增强其实践性即可。为此，有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加以说明。
固然，在日常教学中，已经注重了学生研究性学习方式的养成，但“课题学习”更具深刻性。具体地，“课题学习”具有如下特点：
（1）课题学习的目标并非新知识的习得，而是旧知识的综合应用，教学中更为关注学生在问题解决中的亲身体验，因而目标更具过程性。
（2）课题学习解决的是未经加工的原始问题，因而背景更具现实性、问题更具挑战性。
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（3）课题学习问题的解决，需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识，因而内容更具综合性。
（4）有时课题学习只是给出了一个原始的问题，并未规定解决问题的手段，甚至只是规定了一个大的方向，问题本身的提出和解决都由学生自己选择。例如“吸烟和被动吸烟都有害健康，你所在地区大约有多少人吸烟，有多少人被动吸烟，吸烟对人有哪些危害，吸烟浪费多少物质资源……选择某个感兴趣的主题开展调查，并撰写实验报告，在全班交流”。在这一问题中，调查主题及方式都由学生自己选择。因而学生的学习更具自主性、选择性，学习结论更具开放性。
因此，在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题，展开专题研究，有利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相对缺乏、意识比较薄弱的情况下，在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题，显得尤为必要。
3．课题学习的形式
课题学习的开展形式是多样化的，如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等。因此教学中教师不必局限于教科书上的课题学习，可以根据学生状况选择更多的主题开展课题研究工作。
4．课题学习素材选取的原则
开展“实践与综合应用”活动，必然以某个素材为载体。那么，“实践与综合应用”的素材如何选择呢？笔者认为，实践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则。
“实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观[2]。因此，选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学生生活实际和认知实际的现实问题，加强数学学习与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生学习的主动性和数学应用的意识，同时，也有助于学生对数学知识本体的掌握。此外，具有现实背景的“实践与综合应用”题材，更容易体现课程的人文精神和德育价值。如“调查学生一天丢弃的纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”，可增强学生的环保意识；“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育。
加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是这一部分学习
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活动的另一个重要目标[2]。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合。例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”，它本身是一个几何背景问题，在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中，学生势必应用到许多“空间与图形”的知识；而在长方体体积的表示过程中，又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识；初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法，因此，学生还难以数学地回答“什么情况下，长方体的体积较大”这一问题，只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决，在这一过程中，又会运用到一定的统计知识，因此，可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然，这里的综合应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系；而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例。
当然，在体现题材的实践性和综合性的基础上，素材选择时还应关注问题的数学性，力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维。特别是，在初中阶段，学生已经具备了初步的抽象思维的能力，进行一定的数学拓展已经成为可能。
案例：猜想、证明与拓广 本案例依次提出下列问题：
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？
在这些问题的解决过程中，学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，从而增强学生问题意识和自主性，使学生获得一定的探索和发现的体验。
此外，在素材选取时，还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。
5．课题学习素材选取的主体
这些素材又由谁来选取呢？应该说，在现阶段，一线教师和学生对于“实践与
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综合应用”尚处于实验探索阶段，对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力，因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用，是十分必要的。但应该明确，我国幅员辽阔，地区、学校、学生之间的差异性较大，因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际。为此，一方面，教材编制时也可就同类题材编制多个“实践与综合应用”，以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用；另一方面，随着教材实验的进一步推广，教师和学生“实践与综合应用”活动经验的不断丰富，应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。在这样的素材选取过程，实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识，发展了学生发现问题和探究问题的能力。
6．课题学习的学习形式
可以通过课堂学习方式完成，也可以通过作业形式，要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和研究活动，可以让学生组成合作小组，在课后完成，然后到课堂上进行班组汇报、总结。
不管采用哪种方式展开课题学习的教学，在教学过程中都应力图激发学生的主体精神，发挥学生的主体作用。实际上，课题学习的教学过程，应是一个师生一起学习的过程，它为学生主体作用的发挥提供了较大的空间。具体的，课题学习的主题、学习的方法、问题的发现、问题解决的深度、广度等都可以由学生自主控制和完成。学习中不同的学生可能发现并解决不同的问题，对问题的解决方式也是各式各样，问题的结果也是多样的，提出的新的研究问题也千变万化，因而在这样的过程，学生的主体作用得到尽情的发挥，学生将得到各自应有的发展，真正实现不同的学生得到不同的发展 。
7．采用课内学习的方式的一些参考建议
选择课内学习的方式展开课题学习活动时，应注意以探索为活动主线，并在探索过程中发挥学生的主体性，在活动的选择与确定、探索与实践活动的展开等过程中加强学生的自主性，从而真正地让学生经历自主的问题解决和研究过程，获得一定的“微科研”的研究经验。为此，在具体教学时，应给予学生较为充分的时间与空间，同时增大问题设置的梯度，保证学生较大的探索余地和思考空间。
案例：《平面的镶嵌》
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