教学课堂教学的流程可以大致如下：课前师生收集镶嵌图案——课堂展示交流有关镶嵌图案——明晰概念（镶嵌）——对所展示图片观察的基础上提出一些有待研究的问题——对学生所提出问题进行适当的归类并进一步引导以展开后续的课堂教学。
学生所提出的问题必将是十分丰富的，同时也可能是十分繁杂的。因此，教师课前应认真分析有关问题，根据学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系对后续问题的研究进行一个整体的规划，这样才能及时对学生所提出的问题有一个比较好的评判（如对这个问题的研究价值、研究方法、研究难度等作出比较恰当的评判，从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究，按照什么顺序进行研究等），从而保证课堂教学的有序而高效地进行。固然，教学中可以有多样的选择，下面仅提出一些建议供参考。
总体而言，教学中应认真分析问题的繁简和难易程度，一般遵循先易后难、先简后繁的顺序展开教学活动。因此，建议首先研究较为简单的单个多边形的镶嵌问题，再研究复杂的多个多边形的组合镶嵌问题。
对于单个多边形的镶嵌问题，基于学生的水平和课程标准的要求，这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。
对于三角形、正六边形以及一些特殊的四边形（如正方形、长方形、平行四边形）的镶嵌问题，学生应该都比较熟悉，因此，教学中，教师可以根据课堂教学状况灵活选择不同的教学顺序。如可以在收集、观察的基础上发现正方形、正六边形等平面图形都可以镶嵌整个平面，然后思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面，再从特殊到一般进一步研究一般的多边形（三角形、四边形）的镶嵌问题；也可以在明晰了镶嵌概念之后，直接要求学生想象哪些多边形能够镶嵌平面，并进行具体的纸上描画或者进行实际的拼接（当然，这里就未必有一个确定的教学顺序了，根据课堂学生的状况可能有不同的教学顺序）。显然，对于前一种处理方式，课堂教学的逻辑顺序更为明显，教学易于操控；而对于后一种处理方式，给学生和教师都留下了比较大的空间，教学将更为开放，课堂更具生成性，但同时也不可避免具有一定的不可操控性，对教师自身素质提出了更高的要求。
一般四边形的镶嵌问题，是这堂课的教学难点。如何突破，这是摆在老师们面前的一个课题。这里可以有多种方式：如，考虑到该镶嵌图案的探究对学生而言确实有难度，可以在学生一定的拼接活动的基础上“告诉”，或者借助现实生活中
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一些具体图形（如一些道路护坡的图片）直接“告诉”；也可以引导学生关注三角形、平行四边形等不同的镶嵌图案之间的关系以及同一个镶嵌图案中各个多边形之间的变换关系，然后通过适当的变式揭示四边形的镶嵌问题（见参考案例）。在获得一般四边形的镶嵌图案（如甲图）之后，可能学生还有一些疑问，如四边形所构成的图案是“凹凸不平”的，如何铺满整个平面？为此，可以通过具体的拼接活动让学生获得进一步的直观感受；或者分析共顶点的四个四边形组成的“基本图案”（如乙图），发现将“基本图案”中的两个三角形剪切后平移即可得到一个平行四边形（如丙图），而平行四边形是可以镶嵌整个平面的，因此，这里“基本图案”的镶嵌相当于将平行四边形中剪切了部分移入另一个临近的平行四边形中。这样，不仅关注了什么图形能够镶嵌，而且关注了镶嵌图形的形成过程，可以为镶嵌图形的设计提供一些参考。
（甲） （乙） （丙）
对于多个多边形的组合镶嵌，教学中更多的是一种展示和设计活动，希望通过活动使学生获得一定的数学活动经验和解决问题的体验，而并不希冀获得一般的结论，因此这里不要提出更高的要求。
当然，根据学生以往课题学习的经验水平和认知水平的实际状况，教学中可以设置不同的问题梯度。
案例：猜想、证明与拓广
课堂教学中可以采用几种下面方案：
方案1：教学中仅仅提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？你们又是如何解决的？然后让学生组成合作小组，自主的提出问题，并选择问题进行研究；最后进行班级汇报、小结。
在这样的教学设计中，教师只是提出了一个原始的问题，后续问题的提出与研究都交给了各个合作小组，从而切实培养了学生的自主学习能力。当然，这样的教学设计对学生的提出问题和解决问题的能力提出了较高的要求。
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方案2：和方案1一样，教师首先提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？然后让学生提出新的问题并进行交流；基于学生所提出的问题，教师进行适当的整理与归类，然后选择某些或某类问题展开下一个研究活动；再根据学生新问题的解决情况继续进行后续的课堂活动。
这样的教学设计应该说力图做到以学生的课堂行为为教师教学的生长点，当然，对于这样的课堂行为教师做了一定的选择性，这也应该是教师主导性的一个方面。
方案3：依次安排下面的研究活动：
活动1：（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？
（2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
活动2：如果已知矩形的长和宽分别是2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。
活动3：当已知矩形的长和宽分别是3和1时，是否有和活动2相同的结论？已知矩形的长和宽分别是4和1，5和1，…，n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否仍然有相同的结论?你是怎么做的？
活动4：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？你是怎么做的？
活动5：当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
当然，教学中教师应通过适当的语言引导以顺利实现各个活动之间的转换。 相对于方案1、方案2，方案3所设置问题的梯度稍小，但考虑到这个问题相对于初中学生而言具有较大的挑战性，同时刚开始实验的学生的实践与综合应用能力相对较低，在一定的情况下使用这样的教学设计可能更为符合广大学生的认知水平。当然，采用这样的教学设计时，教师不仅应关注问题的解决，同样应力图让学生体会各个问题之间的关系，感受将一般问题特殊化处理的问题解决策略
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以及将具体问题一般化的数学研究意识，从而发展学生一定的提出问题和解决问题的能力。
8．采用“课外活动、课内交流”形式进行教学的一些建议
如果以课外活动、课内交流的方式进行课题的学习，教师在课外同样要关注学生的活动情况、进度以及所遇到的困难，以对他们进行适时的指导和帮助，解决学生所遇到的一些困惑，确保学生能够顺利完成有关活动，从而进行课内交流；在课内交流时，教师应注意小组汇报的组织与调控，力图每个学习小组都能获得汇报的机会，同时可以要求学生在汇报交流的过程中反思各个小组的优缺点，并在课后通过对其他小组结果的借鉴和自己小组的反思，对自己小组的课题报告进行进一步的修缮整理，从中培养学生自我反思的意识和合作交流的能力。
案例：制成一个尽可能大的无盖长方体
青岛四中的陈怡老师认为，学生通过一个学期的学习已经具备了解决该问题的知识基础和活动经验基础，因此，没有将课题分解成一个一个小问题，去限制学生的思维，而是采用短周期作业与课上的汇报、展示、交流相结合的形式，利用一周的学习时间，事先发放课题研究内容，要求学生以小组为单位进行研究，然后在其中两天安排两节课让学生进行汇报、展示与交流，力图给学生提供更为充分的探索和合作的空间，让学生自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题，在学习过程中不断获得成功体验。
具体的，陈老师把整个课题学习设计为两个层次：
第一层次，主要是关于折叠方法的汇报、展示及初浅的研究成果的反馈，在师生互动中将学生的初步体会进行整理筛选，帮助学生建立初步的认识和经验，进一步明晰方向。
首先老师提前一周以短周期作业的形式下发第一组课题：
（1）用一张正方形的纸怎样制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是什么？
（2）如果设这张正方形的纸边长为a，所折无盖长方体的高为h，应怎样计算无盖长方体的体积？
（3）随着剪去的小正方形的边长h的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？怎样才能直观而形象的表达这种变化?
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要求学生以小组为单位利用2-3天的时间对上面的问题进行合作学习，然后进行班级的汇报与交流。
当然，在第一组课题2-3天的合作学习、自主探索中，陈老师注意深入合作小组摸清学情，鼓励学生针对课题大疑，鼓励同学间批判性地倾听与思考，勇于尝试多样化的解决方案等。
而在进行第一课时的汇报交流时，学生发言过程中，陈老师起到主持人的作用，给学生很多机会与选择，如学生可回答老师的第一组课题中的问题，更可以针对课题发表困惑，还可以学生间互相提问、互相解答；对于学生的想法也注意给予了一些及时的激励性的评价，如有的同学想到了借助给代数式赋值或借助统计图、统计表来反映探究结果，有的同学提出：剪去的小正方形的边长非得是整数吗？如果是小数，相应的无盖长方体容积是不也有可能最大?等等，通过陈老师的肯定和鼓励，同学们获得对正确的探究方法、探究方向更明确的感受。
第二层次，在阅读和讨论的基础上，学生撰写并交流课题报告，通过学生对不同的实验结果的比较和概括，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足，帮助同学们把在充分的自主探究、合作交流中方法认识上的提高落到实处。在此基础上再带着问题走出课堂，把得到的结论应用到生活中：在实际生活中用一张正方形的纸板制一个无盖的长方体粉笔盒，，要装的粉笔多一些，如何制？
在第一课时汇报与交流结束时，发放第二组探究问题：
（1）用边长为20cm的正方形纸片，你能制作出尽可能大的无盖长方体吗？
（2）阅读课本P212—213；
（3）对以上问题的探究，你有什么猜想？有办法验证自己的猜想吗？
同样要求学生通过2—3天的探究撰写课题报告，并在班级进行交流。 在第二课时汇报交流前，陈老师收齐学生的课题报告，通篇阅读后，给部分同学恰当而有分寸的引导，适当安排发言次序，使同学们的结论由易到难地出现在课堂展示。
通过学生的合作学习和老师恰当的指导，这样的教学设计同样受到了较好的教学效果。在第一课时的展示交流中，学生给出了两种不同于书上的折法：第一种是先将正方形折成筒状，然后再撕出一个底；第二种是学生用了拼补法，学生
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