这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μsmg = ma`，
Nm 可得 a` =μsg．
f 板的运动方程为
a` F – f – μk(m + M)g = Ma`， NM 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
f F = (μs + μk)(m + M)g，
f ` 算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮品质均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2． 对两物体列运动方程得
a1 T2 - μm2g = m2a2， T1 a2 m T2 F – T1 – μm1g = m1a1． m1 2 可以解得m2的加速度为 f2 f1 a2?F??(m1?2m2)gm1/2?2m2= 4.78(m·s-2)，
图2.3
绳对它的拉力为
T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2= 1.35(N)．
111??kk1k2； （1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
k1 [解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为 F1 = k1x1，F2 = k2x2． (a) （1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2， k1
2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
k2 F F (b) 111FF1F2????kk1k2． kkk12，即：因此
k2 （2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，
图2.4 因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k2．
2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
?a（2）小车以加速度1沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成θ角；
?（4）用与斜面平行的加速度b1把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
?（5）以同样大小的加速度b2（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力
图2.5
的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)；
2222T?(ma)?(mg)?ma?g绳子张力等于摆所受的拉力 ：．
θ T mg ma （2）
（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力， 合力沿斜面向下，所以θ = θ； T = mgcosθ．
（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mbcosθ，邻边是mg + mbsinθ，由此可得：
θ T ma mg θ （ 3） tan??因此角度为
mbcos?mg?mbsin?，
θ T mg θ
mb T θ mb mg ??arctan而张力为
bcos?g?bsin?；
T?(mb)2?(mg)2?2(mb)(mg)cos(π/2??) θ （ 4） θ 5） （?mb2?g2?2bgsin?．
（5）与上一问相比，加速度的
方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
O l 2．6 如图所示：质量为m =0.10kg的小球，拴在长度l =0.5m的轻绳子的一端，
m 构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： θ （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速C B 度为多大？绳中的张力多大？
图2.6 （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为 O l d2sF?ma?m2dt，
dsd??ldtdt，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为
v?因此
C B mg
m θ T F?mdvdvd?mdv?m?vdtd?dtld?，
即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分
?vB0vdv??gl?sin?d?60?0，
12vB?glcos?2得
060?，解得：vB?gl= 2.21(m·s-1)．
22vBvBTB?mg?m?m?mgRl由于：，
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
12vC?glcos??C2，
当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，
因此速度为
vC?gl(2cos??1)．
切向加速度为at = gsinθ；法向加速度为
2vCan??g(2cos??1)R．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为
at?3g2= 8.49(m·s-2)，
法向加速度为 an = 0，
绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
m 小球的运动方程为
d2sF?ma?m2dt，s表示弧长．
dsv?dt，所以 由于
d2sddsdvdvdsdv?()???vdt2dtdtdtdsdtds，
因此 vdv = gcosθds = gdh，h表示石下落的高度．
N h θ mg 图2.7
12v?gh?C2积分得 ，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，
因此速率为 v?2gh．
2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
f??kx2(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x
利用v = dx/dt，可得
kd2xf??2?ma?m2xdt
d2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx，
因此方程变为
mvdv??积分得
kdxx2，
12kmv??C2x ．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
12kkmv??2xx0， v?2k11(?)mxx0． 证毕．
即
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
12dxmv??k?xn．
如果f(x) = -k/xn，则得212mv??klnx?C2（1）当n = 1时，可得
x12mv?kln0x， 利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 22kx0lnmx． 即
12k1?nk1?nmv??x?CC??x01?nn?1（2）如果n≠1，可得2．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，
12k11mv?(n?1?n?1)n?1xx0， 因此 2v?v?即
2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
2k11(n?1?n?1)(n?1)mxx0． 当n = 2时，即证明了本题的结果．
dvdt，
dvmd(mg?kv)dt??m??mg?kvkmg?kv， 分离变数得f??mg?kv?m
mln(mg?kv)?Ck积分得．
mC?ln(mg?kv0)k当t = 0时，v = v0，所以，
mmg?kvmmg/k?vt??ln??lnkmg?kv0kmg/k?v0， 因此
t??小球速率随时间的变化关系为
v?(v0?mgktmg)exp(?)?kmk．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
T?kvmmg/k?v0mln?ln(1?0)kmg/kkmg．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤： 由于v = dx/dt，所以
dx?[(v0?即
mgktmg)exp(?)?]dtkmk，
dx??m(v0?mg/k)ktmgdexp(?)?dtkmk，
积分得
x??m(v0?mg/k)ktmgexp(?)?t?C`kmk， C`?m(v0?mg/k)k，
当t = 0时，x = 0，所以
因此
x?m(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?tkmk．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
f?mg?kv?mdvdt，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
v?mgmgkt?(?v0)exp(?)kkm．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm =
mg/k．
2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 A v0 2
N = mv/R．
R 物体所受的摩擦力为f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
图2.10 根据牛顿第二定律得