?kv2dvdvdt??2f???km?mv． Rdt， 即 ： R?k1t??Cv积分得：R．
1C??v0， 当t = 0时，v = v0，所以
v011t??v?vv0．解得 1??kv0t/R． 因此 R由于
?kdx?v0dtRd(1??kv0t/R)?1??kv0t/R?k1??kv0t/R， x?Rln(1?积分得
?kv0tR?k)?C`，
x?R当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．
2．11 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
ω [解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为
珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ． 根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
θ R 可得
r m mg?kln(1??kv0tR)cos?解得
?R?2，
???arccosgR?2．
mg
图2.11
(二)力学中的守恒定律
2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．
根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为 F m I??π/2?0(?kAcos?t)dtπ/2?，
??kA?sin?t0??kAO x 图2.12 x 方法二：利用动量定理．
小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的品质为m，其初动量为p1 = mv1 = 0， 末动量为p2 = mv2 = -mωA，
?
小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA， 可以证明k =mω2，因此I = -kA/ω．
2．13一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
Δp p1 [解答]小球动量的大小为p = mv，
p2 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
p1 ?????? ?p?p2?p1 得：p2?p1??p，
m R 由此可作向量三角形，可得：?p?2p?2mv． 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．
2
[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
v2TI?Ft?mR4
2?R/TT??mv?mvR42．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv， 其分量大小分别为 y Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fx m Fy = Fsinθ = Fsinωt，
给小球的冲量大小为 F Fy dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
O dIy = Fydt = Fsinωtdt， R x 积分得 Ix??T/40Fcos?tdt??mvFT/4?sin?t0
?F?，
Iy???FT/40Fsin?tdt??，
FT/4?cos?t0
??mv合冲量为
，
与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2．14 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为vy?22?v?vx?vy22I?Ix?Iy?2mv2gh= 14(m·s-1)，
vy
Δv
其速度的增量为= 24.4(m·s-1)．
棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)， 对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．
vx
2．15 如图所示，三个物体A、B、C，每个品质都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
C B Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动， 加速度大小为a，可列方程：T = Ma，
A 联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式：s = v0t + at2/2， 图2.15 可得B拉C之前的运动时间；t?2s/a= 0.4(s)． 此时B的速度大小为：v = at = 2(m·s-1)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为：v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
2．16 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ，方向沿水平方向． v` 45° v 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 v0 总动量，可作向量三角形，列方程得 v` θ mmv/2?2v`cos45?，
所以 v` = v/cos45° = 2v0cos?．
2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的品质为m，它与路面的滑动摩擦因子为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
?ds[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
?重力G的大小为：G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
ds = Rdθ．
??dW1?G?ds?Gcos(??π/2)ds ??mgRsin?d?，
45?45° N θ R F ds f 积分得重力所做的功为
45?W1??(?mgRsin?)d??mgRcos?0 mg 图2.17
0??(1??摩擦力f的大小为：f = μkN = μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为
2)mgR2．
??dW2?f?ds?fcosπds
??ukmgcos?Rd?，
积分得摩擦力所做的功为
W2??45?0(??kmgRcos?)d?45?
???kmgRsin?0?????fG要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力F就是平衡力，即
???F?G?f?0，
???或者 F??(G?f)．
??????拉力的功元为：dW?F?ds??(G?ds?f?ds)??(dW1?dW2)，
拉力所做的功为
2?kmgR2．
W??(W1?W2)?(1?22??k)mgR22．
由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2．18 一品质为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因子；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
[解答] （1）质点的初动能为：E1 = mv02/2， 末动能为：E2 = mv2/2 = mv02/8，
动能的增量为：ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8， 这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ，积分得：
W??(??kmgr)d???2??kmgr02?．
由于W = ΔE，可得滑动摩擦因子为
23v0?k?16πgr．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：at = f/m = -μkg， 根据公式vt2 – vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为
22v0v08?rs???2a2?kg3，
圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k， 可得 s = -ΔE k/f，由此也能计算弧长和圈数。
2．19 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度
B 产生的最大压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物
体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
A s = 3m θ = 45° 图2.19
1mgssin???mgxsin??kx22，
整理和一元二次方程
12kx?mgxsin??mgssin??02，
解得
mgsin??(mgsin?)2?2kmgsin?x?k= 0.24(m)（取正根）．
2．20 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后
两小球的运动方向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
121212mv0?mv1?mv2222，
222v?v?v012即 ；
???p?p1?p2， 根据动量守恒得：0p1 p0 其中各动量的大小为：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，
θ p2 ??p对向量式两边同时平方并利用1?p2?mv1mv2cos?
222p?p?p?2p1p2cos?， 012得：
2222222mv?mv?mv?2mv1v2cos? 012即：
222 化简得：v0?v1?v2?2v1v2cos?， 结合机械能守恒公式得：2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以：θ = π/2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
2．21如图所示，品质为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为：v1?2gl．
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
11122m1v12?m1v`1?m2v`2222，
m1v1?mv?mv`11`22．
m1 = 0.8m O 222m(v?v`)?mv`122 整理得11``m1(v1?v1)?m2v2．
m2 图2.21
将上式除以下式得：v1 + v1` = v2`， 代入整理的下式得
``m1v1?m1v1?m2v1?m2v1，
解得
碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
v1`?(m1?m2)v1m1?m2．
v1`21m1?m222m?m22)lh??()v1?(1m1?m2= 0.36(m)． 2g2gm1?m2