[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
1111222m1v12?m2v2?m1v`1?m2v`22222，
````m1v1?m2v2?m1v1?m2v2．同理可得v1?v1?v2?v2．
从而解得
将下标1和2对调得
`v2?v1`?(m1?m2)v1?2m2v22(m1v1?m2v2)v1`??v1m1?m2m1?m2，或者；
2(m1v1?m2v2)(m2?m1)v2?2m1v1`v2??v2m1?m2m1?m2，或者． m1v1?m2v2后一公式很好记忆，其中m1?m2代表质心速度．
2．22一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
m （2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
A （3）物体到达B时对槽的压力．
R [解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
V mgR?121mv?MV222，
v M 图2.22
B 根据动量守恒定律得： 0 = mv + MV．
因此
mgR?解得
11121(mv)2mv?(MV)2?mv2?22M22M，
2gR2MgRV??mv?M(M?m)． M?m， 从而解得：
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量
1m2gR2W?MV?2M?m．
（3）物体在槽底相对于槽的速度为
v`?v?V?(1?2(M?m)gRmM?m)v?v?MMM，
物体受槽的支持力为N，则
v`2N?mg?mR，
因此物体对槽的压力为
v`22mN`?mg?m?(3?)mgRM．
2．23 在实验室内观察到相距很远的一个质子（品质为mp）和一个氦核（品质为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得 4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
1112e2222mpv0?(4mp)v0?(5mp)v?k222rm， 2e25822k?mp(v0?v2)?mpv025因此rm， 5ke2rm?24mvp0所以最近距离为：．
l θ m 图2.24 2．24 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？ （3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，
θ 角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．
l （3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此
N 角动量的变化率为
dL?M?F?l?mglsin?dt．
mg E??2．25证明行星在轨道上运动的总能量为
和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为
GMmr1?r2．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1
E?E?12GMmmv1?2r1 （1） 12GMmmv2?2r2． （2）
v2 r1 v1 r2 和
它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2． (3)
将（1）式各项同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4) 将（2）式各项同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6) 由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，
E??故
GMmr1?r2． 证毕．
（三） 刚体定轴转动
2．26质量为M的空心圆柱体，品质均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
[解答]设圆柱体的高为H，其体积为 V = π(R22 – R12)h， 体密度为
ρ = M/V．
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr，
其品质为
dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为
R214I?2??H?r3dr???H(R2?R14)R12
1?m(R22?R12)2．
O R1 R2 O` 图2.26
H
2．27 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：
Y a （1）薄板对OX轴的转动惯量为
IOX?1Mb212；
IOZ?1M(a2?b2)12．
b Z O X （2）薄板对OZ轴的转动惯量为
[证明] 薄板的面积为S = ab， 质量面密度为ζ = M/S．
（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其品质为dm =ζdS，
绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = ζay2dy， 积分得薄板对OX轴的转动惯量为
图2.27
1IOX??a?ydy??ay33?b/211??ab3?Mb21212．
2b/2b/2?b/2
Y a r y O` X O x Z Z` 同理可得薄板对OY轴的转动惯量为
IOY?1Ma212．
b （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为
dx的矩形元，其面积为dS = bdx， 品质为dm = ζdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = ζbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
IOZM112??b?xdx?b?dm??bx31203?a/22a/2a/2??a/212bM?1M(a2?b2)1212．
方法二：垂直轴定理．在板上取一品质元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm．
由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，
因此板绕OZ轴的转动惯量为
IOZ?IOY?IOX?1M(a2?b2)12．
2．28 一半圆形细杆，半径为R，品质为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量． [解答]半圆的长度为C = πR，质量的线密度为λ = M/C． 在半圆上取一弧元ds = Rdθ，其品质为dm = λds，
到AA`轴的距离为r = Rsinθ，绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ， 半圆绕AA`轴的转动惯量为
πI??R?sin?d???R032π31(1?cos2?)d??20
R A θ A`
2．29 如图所示，在品质为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
[解答]大圆的面积为S = πR2， 质量的面密度为ζ = M/S．
大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2． R 2
小圆的面积为s = πr，质量为m = ζs， r r 2
绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr/2， O 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为
Im = IC + m(R/2)2．
π1??R3?MR222
图2.28
R1Im?IC?m()2?m(2r2?R2)24
21r1???r2(2r2?R2)?M2(2r2?R2)44R，
剩余部分的转动惯量为
图2.29
12r422I?IM?2Im?M(R?r?2)2R．
?动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮
之间的摩擦因子μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？ （2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？ [解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴， 在力矩平衡时有：0.5N` – 1.25F = 0， 所以：N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为;N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为：f = μN = 100(N)，
F 摩擦力产生的力矩为：M = fR． 0.50 0.75 飞轮的转动惯量为：I = mR2/2，
角加速度大小为：β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反． O -1
飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad?s)．
图2.30 根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)，
2．30 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制
转过的圈数为n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π．力矩为M = -Iβ， 摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π．闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ， 需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．
2．31一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果． [解答]（1）恒力的力矩为M = Fr = 19.6(N·m)，
-2
对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为
θ = s/r = 25(rad)，
由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为
m -1
??2??= 44.27(rad·s)； F=98N P=98N 2(b) 飞轮的转动动能为Ek = Iω/2 = 490(J)． (a)
方法二：用动力学定理．拉力的功为W = Fs = 490(J)， 图2.31 根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为
??2Ek/I= 44.27(rad·s-1)．
(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)．设绳子的张力为T，则P – T = ma，Tr = Iβ．
由于a = βr，可得Pr = mr2β + Iβ，解得角加速度为
??Prmr2?I= 21.8(rad·s-2)．
绳子的张力为
T?I?IP?rmr2?I= 54.4(N)．
张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J)，
`?`?2E/I= 33(rad·k这就是飞轮此时的转动动能E`k．飞轮的角速度为s-1)．
2．32质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因子为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为N = mg，
ω0 压在水平面上的面积为S = πR2，压强为p = N/S = mg/πR2．
当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元， O R 其面积为dS = rdθdr，
对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ，
图2.32
所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
M??2?0?R0132?2π?pR??mgR?prdrd?33．
2圆盘的转动惯量为I = mR2/2，
角加速度大小为