第二章 随机变量及其分布
一、填空题（请把答案填在题中横线上）：
1． 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 Pk 0.1 0.2 0.4 p 则：p= 。
?1?e?x，x?02．设X的分布函数为F(x)??，则P{X?2}? ；
?0，x?0P{X?3}? ；X的概率分布f(x)? 。
?1，0?x?2，则P{X?1}? ；3． 设X的概率分布为f(x)???2??0，其它P{X?2}? ；X的分布函数F(x)? 。
???Acosx，x? 4．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，则：系数A= ；
?其它?0，P{0?X??2}= 。
?Ax，0?x?1?0，其它，以Y表示对X的三次独立
5．设随机变量X的概率分布为f(x)??重复观察中事件{X?1}出现的次数，则P= 。 {Y?2}226．若随机变量X~N(2，?)且P，则： {2?X?4}?0.3P{X?2}? ；P ；P{X?4}? 。 {X?0}??e?x，x?07．设X的概率分布为f(x)??，则P{X?3}? ；
?0，x?0P{X?2}? ；X的分布函数F(x)? 。
8． 设Fi(x)(i?1,2)为Xi的分布函数。为使F(x)?aF1(x)?量的分布函数，则a? 。
9．设X与Y独立同分布，且X~N(2,22)，若Z?2X?Y，则：
1F2(x)是某一随机变2Z服从 分布，即Z~ 。
10．已知随机变量XN且X与Y相互独立，设随机变量~(?1，1)，YN~(3，1)Z?X??27Y，则Z~ 。
11．设X与Y相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则P 。 {X?Y}? 12．某人射击时，中靶的概率为2/3，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为 。
13．设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。
二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）
1．设X~N(?，?2)，则随着?的增大，概率P{X????}( )。
(A)保持不变 (B)单调减少 (C)单调增加 (D)增减不定
2．设X和Y均服从正态分布X，记~N(，4)，Y~N(，5)，p，则（ ） p?P{X???4}?P{Y???5}12 (A)对任何实数?都有p1?p2 (B)对任何实数?都有p1?p2
?2?2(C)仅对?的个别值有p1?p2 (D)对任何实数?都有p1?p2
3． 设Fi(x)(i?1,2)为Xi的分布函数。为使FF2(x)是某一随机变()x?aF()x?b1量的分布函数，则下列给定的各组数值中应取（ ）。
(A) a?3/5，b??2/5 (B) a?1/3，b?2/3 (C) a??1/2，b?3/2 (D) a?1/2，b??3/2
4．设r?vX服从标准正态分布，其密度函数为?(x)，分布函数为?(x)，则对任意实数a有（ ）。
(A)?(?a)?1???(x)dx (B)?(?a)?a01a??0?(x)dx 2 (C)?(?a)??(a) (D)?(?a)?2?(a)?1
??Cx3,0?x?1 5．设随机变量X的密度函数为f(x)??，则常数C= ( )
?其它?0, (A) 3 (B) 4 (C)1/4 (D) 1/3
?4x3,0?x?16．设随机变量X的密度函数为f(x)??，则使P(X?a)?P(X?a)0,其它?成立的常数a?（ ） 。
(A)
142 (B)
42 (C)11 (D)1?
4227．设X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?11，则P{X?}=( )。
2，其它?0 (A)
3111 (B) (C) (D) 4342??Ce?2x,x?08．设随机变量X的密度函数为f(x)??，则C= ( )。
?x?0?0, (A) 1/2 (B) 3 (C)2 (D) 1/3
9． 某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）。
(A) () (B) ()?334324112313 (C) ()? (D) () 4444 10．设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为（ ）。
(A) ()() (B)C10()?() (C) C10()?() (D) () 11．设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为（ ）。
(A) p3 (B)3p(1?p)2 (C) 1?p3 (D)1?(1?p)3
12．设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为（ ）。
(A) p3 (B) 1?p3 (C) (1?p)3 (D)(1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p) 13．设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）。
(A) p3 (B) 1?p3 (C) (1?p)3 (D)1?(1?p)3
14．设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，则在3次重复试验中全部成功的概率为（ ）。
(A) p3 (B) 1?p3 (C)(1?p)3 (D)1?(1?p)3 15．设(X，Y)的概率密度f(x，y)??133237313323731372331330?y?2?K(x?y)，0?x?1，，则
其它?0，K? （ ）。
(A) 3 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2 16．设(X，Y)的概率密度f(x，y)??0?y?2?C，0?x?1，，则
0，其它?C?（ ）。
(A) 3 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2 17．设X与Y相互独立且同分布，P， {X??1}?P{Y??1}/?12，则下列各式中成立的是（ ）。 P{X?1}?P{Y?1}?1/2(A)P{X?Y}?11 (){ (C)P{X?Y?0}?1/4 (D)P{XY?1}? BPXY?}?142 18．设X和Y相互独立，且分别服从N(0,1)和N(1,1)，则（ ）。 (A)P{X?Y?0}?1/2 (B)P{X?Y?1}?1/2 (C)P{X?Y?0}?1/2 (D)P{X?Y?1}?1/2 19．设X和Y相互独立，且均服从N(0,1)，则（ ） (A)P{X?Y?0}?1/2 (B)P{X?Y?1}?1/2 (C)P{X?Y?1}?1/2 (D) A、B、C都不对。
三、解答题
1．设X的概率分布为
X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 求：（1）X的分布函数；
{1?X?}、P{1?X?}。 （2）P{X?}、P 2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。
123232???Acosx，x?6．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，求：
?其它?0，（1）系数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间(? 7．设随机变量X的分布函数为 F(x)?a?求：（1）系数a；
（2）X落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量X的概率密度。（提示：Arctanx为反正切函数）
8．设随机变量X的概率分布为f(x)???，)内的概率。
44?1?Arctanx (???x???)
?Ax，0?x?1，以Y表示对X的三次独
0，其它?立重复观察中事件{X?1}出现的次数，试确定常数A，并求概率P。 {Y?2}29．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压X~N(220,252)，试求： （提示：
?(0.8)?0.788）
（1） 该电子元件被损坏的概率?
（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率?。
11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X和Y的联合概率分布； （2）关于X和Y边缘分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：
XY的概率分布； （1）随机向量（，）（2）(X，Y)关于X和关于Y的边缘概率分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，