F(x)??x??f(u)du??20dx??2?????x1cosxdx???0dx?1 ?222?故X的分布函数为
0，x???/2?? F(x)??(1?sinx)/2，??/2?x??/2
?1，x??/2，? （3）所求概率为 P{?????2?X?}?F()?F(?)? 44442 7．设随机变量X的分布函数为 F(x)?a?求：（1）系数a；
（2）X落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量X的概率密度。（提示：Arctanx为反正切函数） 解：（1）由F(??)?a? F(x)?1?Arctanx (???x???)
?()?1，解得a?。故得
2?21?111?Arctanx (???x???) 2?（2）P{?1?X?1}?F(1)?F(?1) ?11?11?1???[??(?)]? 2?42?42 （3）所求概率密度为 f(x)?F?(x)?(?121??Arctanx)??1?(1?x)2 (???x???)
8．设随机变量X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?1，以Y表示对X的三次独
，其它?0立重复观察中事件{X?解：由归一性
1}出现的次数，试确定常数A，并求概率P{Y?2}。 2A 1????f(x)dx??0Axdx?
2所以A=2。即
??1 f(x)???2x，0?x?1
?0，其它11111 P{X?}?F()??2f(x)dx??22xdx ???0224所以Y~B(3，)，从而 P{Y?2}=C3()?21414239? 4649．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解 ：设X表示每个人等车时间，且X服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
?1/5,0?x?5 f(x)??
其它?0, P{X?2}??2??f(x)dx??1/5dx?0.4
02 又设Y表示等车时间不超过2分钟的人数，则Y~B(3,0.4)，所求概率为 P{Y?2}?1?P{Y?1}
01?1?C3?0.63?C3?0.4?0.62?0.352
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压X~N(220,252)，试求： （提示：
?(0.8)?0.788）
（3） 该电子元件被损坏的概率?
（4） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率?。 解：设A1：“电源电压不超过200伏”；A2：“电源电压在200~240伏”； “电源电压超过240伏”； B：“电子元件被埙坏”。 A3：
由于X~N(220，25)，所以
2()AP?{X?200}?F(200)??( P1200?220) 25 ? ?(?0.8)?1??(0.8)?1??0.7880.212(A)?P{200?X??240}?( P2240?220200?220)??() 2525 ? ?(0.8)??(?0.8)?2?(0.8)?1?0.576 P(A)?P{X?2401}???(3240?220 )25 ? 1??(0.8)?1?0.788?0.212由题设P,P,P,所以由全概率公式 (B|A)?0.1(|BA)?0.001(B|A)?0.2123 ?? P(B)?(AP(B|A?0.0642i)i)i?1?3由条件概率公式
??P(A|B)?2P(A)(|PBA)22 ?0.009P()B11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X和Y的联合概率分布； （2）关于X和Y边缘分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
（X，Y）解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。
p11?P{X?1，Y?1}?111?? 339122?? 339212?? 339224?? 339，Y?2}? p12?P{X?1 p21?P{X?2，Y?1}? p22?P{X?2，Y?2}?于是（X，Y）的概率分布表为
Y X 1 2 1 1/9 2/9
2 2/9 4/9 （2）关于X和Y的边缘概率分布分别为
X 1 2 Y 1 2 pi? 1/3 2/3 p?j 1/3 2/3
（3）X和Y相互独立。因为?i,j有pi??p?j?pij
12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：
XY的概率分布； （1）随机向量（，）（2）(X，Y)关于X和关于Y的边缘概率分布； （3）X和Y是否相互独立？为什么？
解：（1）(X，Y)的取值为(1，21)(，，32)(，，12)(，，33)(，，1)，(3，2)，由概率乘法公式可得
111p?P{X?1，Y?2}??? 12326111 p?P{X?1，Y?3}???13326同理可得 p ????p/62123p31p321 此外事件{，{，{都是不可能事件，所X?1，Y?1}X?3，Y?3}X?2，Y?2}以p,于是（X，Y）的概率分布表为 ?p?p?0113322 Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0
XY关于X的边缘概率分布 （2）（，） X 1 2 3 pi? 1/3 1/3 1/3
XY关于Y的边缘概率分布 （，） Y 1 2 3
p?j 1/3 1/3 1/3 （3）X和Y不相互独立，由于Pi??P?j?Pij。
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布； （2）X与Y是否独立？为什么？ 解：（1）（X，Y）的概率分布表为
Y X 1 2 3 1 1/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 X的边缘概率分布为
X 1 2 3
pi? 1/2 1/4 1/4
Y的边缘概率分布为
Y 1 2 3 p?j 1/2 1/4 1/4
（2）X与Y不独立，由于
P {X?1，Y?1}?P{X?1}P{Y?1}14．设G为由抛物线y?x和y?x所围成区域，(X，Y)在区域G上服从均匀分布，试求：（1）X、Y的联合概率密度及边缘概率密度；
（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。
解：如图所示，G的面积为 y 2?(x?x)dx? y?x2 A0?1216因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为 o 1 x 6,(x,y)?G? f(x ,y)??0,其他?而
fx ()?f(x,y)dy?66dy?(x?x)，0?x?1X2??x??x??yy2 f (y)?f(x,)ydx?6dx?6(y?y)，0?y?1Y??????所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为
2?6(x?x),0?x?1x)? fX( ?,其他?0 f(y)??Y?6(y?y),0?y?1
,其他?0（2）由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，故随机变量X与Y不相互独立。 15．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
?e?y,0?x?y f(x,y)??
0,其它?求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)； （2）概率P{X?Y?1}。