再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布； （2）X与Y是否独立？为什么？
14．设G为由抛物线y?x和y?x所围成区域，(X，Y)在区域G上服从均匀分布，试求：（1）X、Y的联合概率密度及边缘概率密度；
（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。 15．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
2?e?y,0?x?y f(x,y)??
其它?0,求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)； （2）概率P{X?Y?1}。
16．设随机向量(X，Y)的概率密度为 f(x,y)???A,0?x?1,0?y?x
其他?0,试求:（1）常数A；（2）关于X、Y的边缘概率密度。 17．设随机变量（X，Y）具有概率密度
?Ce?(x?y),x?0,y?0 f(x,y)??，
0,其它?求（1）常数C；（2）边缘分布密度。
18．设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。
X Y x1 x2 y1 1/12 1/6 y2 1/8 y3 P{X?xi}?pi? 1 P{Y?yj}?p?j
第二章 随机变量及其分布
一、填空题（请把答案填在题中横线上）：
1． 0.3
?e?x，x?02. 1?e?2 e?3 f(x)??x?0
?0，?0,x?03. 1/2 0 F(x)???x/2,0?x?2 ??1,x?24. 1/2 1/2 5. 9/64
6. 0.5 0.2 0.2 7. 1?e?3， e?2 ???1?e?xF(x)，x?0x?0
?0，8. 1/2
9. 正态分布 Z~N(6,20) 10. Z~N(0,5) 11. 1/2 12. 2/27 13. 19/27
二、选择题（请把唯一正确的选择填在题后的括号内）1． A 2． A 3． A 4． B 6． A 7． C 8． C 9． C 11． B 12． B 13． D 14． A 16． C 17． A 18． B 19． A 三、解答题
1．设X的概率分布为
X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 求：（1）X的分布函数；
（2）P{X?1}、{1?X?3}、P{1?X?32P22}。 5． B 10． B15． B
?0，x?0?1，0?x?1??3 解：（1） F(x)?P{X?x}??
1?，1?x?2?2??1，x?2111PX{?}?F()?；
223331P{1??X}?P{X?}?P{X?1}?；
226{1?X??}P{1?X??}P{X??}。 P32323126 2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
解：由题意知X服从二项分布B（3，），从而 P{X?0}?(1?)? P{X?1}?C3?21121231； 8113?(1?)2?； 228122 P{X?2}?C3?()?(1?)? P{X?3}?()?即X的概率分布列为
123 ； 81231 8 X 0 1 2 3
pk 1/8 3/8 3/8 1/8
由分布函数定义
?0，?1/8，??F(x)?P{X?x}??4/8，?7/8，???1，x?00?x?11?x?2
2?x?3x?3 3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布
函数。
解：由题意知X服从二项分布B(3，)，从而 P{X?0}?(1?)? P{X?1}?C3?212525327 1252254?(1?)2? 55125252 P{X?2}?C3?()?(1?)? P{X?3}?()?即X的概率分布列为
2536 1252538 125 X 0 1 2 3
pk 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得
?0，?27/125，?? F(x)?P{X?x}??81/125，?117/125，???1，x?00?x?11?x?2 2?x?3x?34．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。
解：设：Ai(i?1“部件i需要调整”。 ，2，3)表示：
P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504；
P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.398； P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.092 P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.006 故X的概率分布列为
X 0 1 2 3
pk 0.504 0.398 0.092 0.006
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。
解：X的可能取值为1，2，3，?。 记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示“第k次试验雷管不发火”从而得 p1?P{X?1}?P(A1)?4 5 p2?P{X?2}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?14? 55152 p3?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?()?4 5
14
pk?P{X?k}?P(A1A2?Ak?1Ak)?()k?1?5541k?1?()55??依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为 P{X?k}?（k?1，2，3，?）
???Acosx，x?6．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，求：
?其它?0，（1）系数A；（2）X的分布函数；（3）X落在区间(??，)内的概率。
44? 解：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A及X的分布函数，至于（3）可由X的分布函数求得。 （1）由归一性， 解得A?1/2。
（2）由连续型随机变量的定义知X的分布函数为 F(x)? 当x?? 当???????f(x)dx??2?Acosxdx?2A?1
?2?xx??f(u)du
?2时，F(x)????f(u)du=0；
?2?x??2时，
F(x)??x??f(u)du??20dx???????111cosxdx??sinx ?2222x 当x?
?2
时，