第3章 平稳时间序列分析
一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p阶差分
记?xt为xt的1阶差分：?xt?xt?xt?1
记?2xt为xt的2阶差分：?2xt??xt??xt?1?xt?2xt?1?xt?2 以此类推：记?pxt为xt的p阶差分：?pxt??p?1xt??p?1xt?1 二、k步差分
记?kxt为xt的k步差分：?kxt?xt?xt?k 3.1.2 延迟算子
一、定义
延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B为延迟算子，有
延迟算子的性质：
x t ?1 ? Bx t 1.B0?1
2xt?2?Bxt 2.若c为任一常数，有B(c?xt)?c?B(xt)?c?xt?1
?P x t ? p ? B x t 3.对任意俩个序列{xt}和{yt}，有B(xt?yt)?xt?1?yt?1
n 4.Bxt?xt?n
n 5.(1?B)? 二、用延迟算子表示差分运算 1、p阶差分
pp ?xt?(1?B)xt
n?(?1)Ci?0iinB,其中Cn?iin!i!(n?i)!
2、k步差分
?kxt?xt?xt?k?(1?Bk)xt
3.2 ARMA模型的性质 3.2.1 AR模型
定义 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):
xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t ?p?0,E(?t)?0,Var(?t)???,E(?s?t)?0,s?t (3.4)
Exs?t?0,?s?t2AR(p)模型有三个限制条件：
条件一：?p?0。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。
2条件二：E(?t)?0,Var(?t)???,E(?s?t)?0,s?t。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列{?t}为零均值白噪声
序列。
条件三：Exs?t?0,?s?t。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为：
xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t (3.5) 当?0?0时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。
令
???01??1??2????p,yt?xt??
则{yt}为{xt}的中心化序列。 AR(p)模型又可以记为：
?(B)xt??t，其中?(B)?1??1B??2B????pB称为p阶自回归系数多项式 二、AR模型平稳性判断
P45【例3.1】 考察如下四个AR模型的平稳性：
(1)xt?0.8xt?1??t (2)xt??1.1xt?1??t (3)xt?xt?1?0.5xt?2??t (4)xt?xt?1?0.5xt?2??t 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳
1、特征根判别
任一个中心化AR(p)模型?(B)xt??t都可以视为一个非齐次线性差分方程。 xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t 则其齐次线性方程?(B)xt?0的特征方程为：x??1xpp?12p??2xp?2????p?0
p设?1,?2,?,?p为齐次线性方程?(B)xt?(1??1B??2B????pB)xt?0的p个特征根。所以 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根?1,?2,?,?p都在单位圆内。 同时等价于：AR模型的自回归系数多项式的根，即?(u)?0的根，都在单位圆外。
证明：设?1,?2,?,?p为齐次线性方程?(B)xt?0的p个特征根，任取?i,i?(1,2?p)，带入特征方程： ?i??1?i把ui?1pp?12??2?ip?2????p?0
?i带入?(B)?0中，有
?(ui)?1??11?i??21?i2????p1?ip?1?ip[?i??1?ipp?1??2?ip?2????p]?0
p根据这个性质，?(B)可以因子分解成：?(B)??(1??B)，
ii?1于是可以得到非其次线性方程?(B)xt??t的一个特解：xt??t?(B)??tpp?i?(1??B)i?1?1??B?i?1ikit
2、平稳域判别
使得特征方程xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p?0的所有特征根都在单位圆内的系数集合
} {?1,?2,?,?p|特征根都在单位圆内被称为AR(p)模型的平稳域。
(1)AR(1)模型的平稳域
AR(1)模型为：xt??xt?1??t，其特征方程为：????0，特征根为：???。则AR（1）模型平稳的充要条件是??1,则AR(1)模型的平稳域是{?1???1} (2)AR(2)模型的平稳域
AR(2)模型为：xt??1xt?1??2xt?2??t。其特征方程为：?2??1???2?0，特征根为：
?1??1?4?222?1?,?2??1??1?4?222。则AR（2）模型平稳的充要条件是：?1?1且?2?1，从而有：
{??1??2??11??2??2,且?1?1，?2?1
因此可以导出： 1)?2??1?2?12)?1??2???1?2??1??2?1?(1??1)(1??2)?1 3)?2??1???1?2??1??2?1?(1??1)(1??2)?1所以 AR(2)模型的平稳域：
{?1,?2|?2?1,且?1??2?1}
【例3.1续】 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验如下四个AR模型的平稳性： (1)xt?0.8xt?1??t (2)xt??1.1xt?1??t (3)xt?xt?1?0.5xt?2??t (4)xt?xt?1?0.5xt?2??t
2其中{?t}~WN(0,??)
模型 1)
特征根判别 平稳域判别
??0.8
结论 平稳
?1?0.8
2) ?1??1.1 ???1.1
3)
??i1?12,?1?i2?2
?2?0.5,?1??2?0.5,?2??1??1.5 4)
?1?31?3
?2?0.5,?1??2?1.5,?2??1??0.51?2,?2?2
三、平稳AR模型的统计性质
1、均值
假如AR(p)满足了平稳性条件，于是
Ext?E(?0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t) 由平稳序列均值为常数的性质得：Ext??(?t?T)，因为{?t}~WN(0,?2?)，所以 (3.12)等价于 (1??01??2????p)??????1??1??2????
p特别对于中心化AR(p)模型有Ext?0。
2、方差
(1)Green函数。设?1,?2,?,?p为平稳AR(p)模型的特征根，则平稳AR(p)模型可以写成：
?p x?ptkp?it??(B)??1??tk(?)j?j????iiBt???ki?i?t?j???Gj?t?j i?1iB?i?1j?0j?0i?1j?0p其中Gj??kji?i(j?1,2,?)，系数Gj(j?1,2，?）称为Green函数。
i?1p 记G(B)??GjjB，则(3.13)简记为：xt?G(B)?t i?1再将(3.14)带入AR(p)模型?(B)xt??t中，得到
?(B)G(B)?t??t Green函数的递推公式为：
G0?1
jGj???k?Gj?k,j?1,2,?
k?1p其中???{?k,k?k0,k?p
(2)平稳AR模型的方差。对平稳AR模型xt?G(B)?t两边就方差，有
非平稳 平稳
非平稳
(3.12) (3.13)
(3.14)
?j???2j Var(xt)?Var(?GjB?t)?Var(?Gj?t?j)?j?0j?0?2j?22?Gj?0Var(?t)??Gj?02j2??
由于?G??，这说明平稳序列{xt}方差有界，等于常数?Gj??
j?0j?0
【例3.2】求平稳AR(1)模型的方差。
AR(1)模型：(1??1B)xt??t?xt?Green函数为：Gj??1,(j?0,1,?)， 所以平稳AR(1)模型的方差为：
??2j?t(1??1B)??j1??(?Bj?0)?t???j?0j1?t?j
j Var(xt)?
3、协方差函数
?Gj?0Var(?t)???j?02j1???2??221??1
在平稳模型xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t等号两边同时乘xt?k(?k?1)，再求期望，得 E(xtxt?k)??1E(xt?1xt?k)??2E(xt?2xt?k)????pE(xt?pxt?k)?E(?txt?k) 又由E(?txt?k)?0,?k?1，?k?E(xtxt?k)，可以得到自协方差函数的递推公式：
?k??1?k?1??2?k?2????p?k?p (3.17)
【例3.3】求平稳AR(1)模型的自协方差函数。
平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：?k??1?k?1??1?0 又由【例3.2】知，?0?k??2211??，所以平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是：?k??1k??2211??,?k?1
【例3.4】求平稳AR(2)模型的自协方差函数。
求平稳AR(2)模型的自协方差函数的递推公式为：?k??1?k?1??2?k?2,?k?1， 特别地，当k=1时，有?1??1?0??2?1，即?1??01??1?0
利用Green函数可以推出AR(2)模型的协方差： ?0?1??2(1??2)(1??1??2)(1??1??2)??
2所以平稳AR(2)模型的协方差函数的推导公式为：