式中，{I1,I2,?}为逆函数。可以得到ARMA(p,q)模型下的逆函数的推导公式为：
I0?1kIl????jIk?j??k?,k?1j?1
其中，?k???k,1?j?p0,j?p，?k???k,1?j?q0,j?q
四、ARMA(p,q)模型的统计性质
1、均值
对于一个非中心化平稳可逆的ARMA(p,q)模型：
xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t??1?t?1????q?t?q
两边同时求均值：
??Ext??01??1??2????p
2、自协方差函数
??k?E(xtxt?k)??
3、自相关系数
?2??GGii?0i?k
?k??k?0?GGii?k?i?0??Gi?02i
考察AR(p)、 MA(q) 、ARMA(p,q)模型的自相关系数和偏自相关系数，可以总结出 模型 AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
自相关系数?k 拖尾 q阶截尾 拖尾 偏自相关系数?kk p阶截尾 拖尾 拖尾 3.3 平稳时间序列
3.3.1 时间序列建模的一般步骤
? 怎样判断平稳性？ ? 什么是平稳性？
这里指宽平稳。如果序列{xt}满足下列条件，则称为是平稳的。 1.E(xt)??,?t2.Var(xt)??,?t3.Cov(xt,xs)?Cov(xt?k,xs?k),?s,t,k?，性质3的一个推论是，对?s,t,k,Corr(xt,xs)?Corr(xt?k,xs?k)，记为?k称为延迟为k?的自相关系数k??s?t
2
平稳性的直观含义是“序列的前二阶矩不随时间的推移而改变”，这使得我们可以把不同时间点的数据放在一起作
统计推断.
? 观察时序图
根据平稳性的定义，平稳序列具有常数均值和常数方差的性质，因此其时序图应该在一个常数值附近波动，且波动的范围有界；
具有明显趋势性和周期性的序列通常不是平稳序列；
例如：
? 自相关图检验
平稳序列通常只具有短期的自相关，即自相关函数(ACF) 往往很快的衰减到零。因此衰减很慢的序列很可能是非平稳的。
例如前面三个例子里面对应的自相关图分别如下：
?
? 怎样做白噪声检验？ ? 什么是白噪声？
如果序列{xt}满足E(xt)??,Var(xt)??2,Cov(xt,xs)?0,?t?s，则称{xt}为白噪声序列(White Noise),记为
xt~WN(?,?)
2如果xt还服从正态分布，则称为高斯白噪声。
? 白噪声是纯随机序列，它具有性质，
?k?0,?k
因此我们可以通过检验下列假设来检验序列是否是白噪声
H0:?1??2????m?0?H1:?k?m,使得?k?0
?k2???? 检验统计量为LB(Ljung-Box)统计量LB?n(n?2)???n?k?
k?1??m22LB??m?1??2?时拒绝原假设。 在原假设成立的条件下，LB近似服从自由度为m的卡方分布?m
注：为什么只需要检验前6期，12期或者前18期的自相关呢？这是因为一个平稳序列通常只存在短期的自相关，如果短期之间都不存在显著的自相关，则更长期的延迟之间就更不会存在自相关了；相反的，如果存在显著的短期自相关，则该序列必然不是白噪声；
? 怎样计算自相关系数和偏自相关系数？ ? 样本自相关系数(SACF)
n?k?(x?k??t?1tn?x)(xt?k?x)?x)2 ? 样本偏自相关系数(SPACF)
?(xt?1t
?kk?1??其中，D?1???k?1??1?1??k?2?????k?1??k?2??1DkD 1?1?1??k?2?????1??2???k???，Dk?1???k?1?