?0? ?1?1??2(1??2)(1??1??2)(1??1??2)??2?01??1?0
?k??1?k?1??2?k?2,?k?2
4、自相关系数
(1)平稳AR模型自相关系数的推导公式。由于?k??k?0，式 (3.17)两边同时除以?0，可以得到自相关系数的推导公式：
?k??1?k?1??2?k?2????p?k?p
平稳AR(1)模型的自相关系数推导公式：?k??1k,k?0 平稳AR(2)模型的自相关系数推导公式：
1?k? ?11??2
?k??1?k?1??2?k?2,?k?2(2)自相关系数的性质。平稳AR模型自相关系数有连个显著的特性： 一、拖尾性
二、呈负指数衰减
5、偏自相关系数 (1)偏自相关系数的定义。
定义 3.3 对于平稳序列{xt}，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量xt?1,xt?2,?,xt?k?1条件下，或者在剔除中间k-1个随机变量xt?1,xt?2,?,xt?k?1的干扰后，xt?k对xt的影响的相关度量。
?x)(x?E?x)]E[(xt?Ett?kt?k? 2?E[(xt?k?Ext?k)]?kk??x(2)偏自相关系数的计算。
t,xt?1|xt?1,xt?2,?,xt?k?1 对于平稳序列{xt}，用过去的k期序列值xt?1,xt?2,?,xt?k?1对xt作k阶自回归拟合，即
xt??k1xt?1??k2xt?2????kkxt?k??t (3.12) 式中，E(?t)?0,E?txs?0(?s?t)。在式(3.12)两边同时乘xt?k，并求期望，得
?l??k1?l?1??k2?l?2????kk?l?k,?l?1，
取前k个方程构成的方程组：
?1??k1?0??k2?1????kk?k?1?2??k1?1??k2?0????kk?k?2?
?k??k1?k?1??k2?k?2????kk?0该方程组成为Yule—Walker方程。用矩阵表达
1?11??????k?1?k?2?1?k1 ?
?1 ?
?1??k2??2? (3.27)
?k?1则?kk?DkD?k?2?kk?k，其中
1D??11??????k?1?k?2?1,Dk?1?11??????1?2??1??1?
?k?1?k?2?k?1?k?2?kD为式 (3.27)的行列式，Dk为把D中第k个列向量换成(3.27)等号右边的自相关系数响亮后构成的行列式。 (3)偏自相关系数的截尾性。
平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p步截尾性。指?kk?0,?k?p，只要当k>p时，Dk?0。 AR(1)模型的偏自相关系数为：?kk?
?1,k?10,k?2
?11??2AR(2)模型的偏自相关系数为：?kk? ?2,k?2
0,k?2
3.2.2 MA模型 一、定义
定义 3.4 具有如下结构的模型称为q阶移动平均(moving average)模型，简记为MA(q):
xt????t??1?t?1????q?t?q ?q?0E(?t)?0,Var(?t)???,E(?t?s)?0,s?t2 (3.32)
使用MA(q)模型需要满足两个限制条件：
条件一：?q?0，这个限制条件保证了模型的最高阶数为q。
22条件二：E(?t)?0,Var(?t)???,E(?t?s)?0,s?t，即随机干扰项{?t}为零均值白噪声序列{?t}~WN(0,??)
通常把MA(q)模型简记为：xt????t??1?t?1????q?t?q (3.33)
当??0时，模型 (3.33)称为中心化MA(q)模型，而对非中心化模型只需做一个简单的位移yt?xt??，就可以转化证中心化MA(q)模型。
使用延迟算子，中心化MA(q)模型又简记为：
xt??(B)?t，
式中?(B)?1??1B??2B????qB，称为q阶移动平均系数多项式。
2q二、MA模型的统计性质
1、常数均值
当q??时，MA(q)模型具有常数均值：
Ext?E(???t??1?t?1????q?t?q)?? 如果该模型为中心化MA(q)模型，则该模型均值为零。
2、常熟方差
Var(xt)?Var(???t??1?t?1????q?t?q)?(1??1??2???q)??
3、自协方差函数只与滞后阶数相关，且q阶截尾
?k?E(xtxt?k)?E[(???t??1?t?1????q?t?q)(???t?k??1?t?k?1????q?t?k?q)]2222
(1??1??2???q)??,k?0q?k2222 =(??k????ii?1)??,1?k?q k?i20,k?q
4、自相关系数q阶截尾
1,k?0q?k ?k??k?0(??k??
21???ii?122k?i)2q(1???????)0,k?q,1?k?q
MA(1)模型的自相关系数为 MA(2)模型的自相关系数为
1,k?01,k?0??1??1?21??1??2??21??1??20,k?22222,k?1?k?
??11??12,k?1 ?k?
,k?20,k?1
5、偏自相关系数拖尾
(1)当q??时，MA(q)模型一定为平稳模型。
(2)MA(q)模型的偏自相关系数拖尾，自相关系数q阶截尾。
三、MA模型的可逆性
为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的MA模型，我们就要给模型增加约束条件。这个约束条件称为MA模型的可逆性条件。
(1)可逆的定义
MA(1)模型具有如下结构式，他们的自相关系数正好相等：
模型1：xt??t???t?1 模型2：xt??t?把这两个MA(1)模型表示成两个自相关模型形式：
1??t?1
模型1：
xt1??B??t 模型2：
1?xt1??t B? 显然，??1时，模型1收敛，而模型2不收敛；??1时，模型1不收敛，而模型2收敛。若一个MA模型能够表示成收敛的AR模型形式，那么该MA模型则称为可逆模型。一个自相关系数唯一对应一个可逆MA模型。
(2)MA(q)模型的可逆性条件。 MA(q)模型可以表示为：
xt?(B)q??t (3.34)
式中?(B)?1??1B??2B????qB，称为q阶移动平均系数多项式。 假定
1,1,?,12?1?2?q是该系数多项式的q个根，则?(B)可以分解成：
q ?(B)?把(3.35)式带入(3.34)，得
?t?xtq?(1??k?1kB) (3.35)
?kxt(1??1B)?(1??qB) (3.36)
?(1??k?1B)式(3.36)收敛的充要条件是：?k?1，等价于MA(q)模型的系数多项式的根都在单位圆外，MA(q)模型的可逆性条件。
3、逆函数的推导公式
如果一个MA(q)模型满足可逆性条件，它就可以写成如下两种等价形式： ?(B)?t?xt?(a)1?k?1。这个条件称为
?t??(B)xt?(b)
把(b)式带入(a)式，得 ?(B)?(B)xt?xt,
I0?1由待定系数法可以得到逆函数的推导公式： lIl????jIl?j,l?1j?1?
式中，??j? ?i,k?q0,k?q?，?t?I(B)xt??IBii?1ixt??Ii?1ixt?i
P64【例3.6续】考虑【例3.6】中的四个MA模型的可逆性，并写出可逆MA模型的逆转形势。
4、MA模型偏自相关系数拖尾
?k?0,MA(q)模型延迟k阶偏自相关系数为：
k??Il?02l?k?l22k ?kk?(1??1??2???q)?2，由于?Il?k?l不会恒等于零，所以MA(q)模型偏自相关系数拖尾。
l?0
3.2.3 ARMA模型
一、定义
定义3.5 把具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q):
xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t??1?t?1????q?t?q?p?0,?q?0 E(?t)?0,Var(?t)???2,E(?s?t)?0,s?tExs?t?0,?s?t (3.38)
若?0?0，该模型称为中心化ARMA(p,q)模型。
中心化ARMA(p,q)模型可以简记为：xt??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t??1?t?1????q?t?q (3.10) 引入延迟算子后，中心化ARMA(p,q)模型又可以表示为：
?(B)xt??(B)?t
式中，
?(B)?1??1B??2B????pB，为p阶自回归系数多项式?(B)?1??1B??2B????qB，为q阶移动平均系数多项式2q2p，
显然，当
q?0时，ARMA(p,q)模型就退化成p?0时，ARMA(p,q)模型就退化成AR(p)模型MA(q)模型
二、平稳条件与可逆条件
对于一个ARMA(p,q)模型，容易推导出ARMA(p,q)模型的平稳条件是：ARMA(p,q)?(B)?0的根都在单位圆外。模型可逆的条件是：?(B)?0的根都在单位圆外。
即，当?(B)?0,?(B)?0的根都在单位圆外是，称ARMA(p,q)模型为平稳可逆模型。
三、传递形式与逆转形式
对于一个平稳可逆ARMA(p,q)模型，它的传递形式为：
? xt??(B)?(B)?t??1?Gj?0j?t?j
式中，{G1,G2,?}为Green函数。可以得到ARMA(p,q)模型下的Green函数的推导公式为：
G0?1
kGk????jGk?j??k?,k?1j?1
可以得到ARMA(p,q)模型的逆转形式为：
?
?t??(B)?(B)??1?Ij?1ixt?j